Em cada item, encontre uma parametrização g: D \subset \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} enfatizando o conjunto D que parametriza a superfície S=\operatorname{Im} g quando esta o gráfico da função f.
f(y, z)=-\sqrt{y^{2}+z^{2}} e 0 \leq x \leq 16.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização g: D\subset\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 tal que \operatorname{Im}g seja a superfície S que é o gráfico da função dada. As informações dadas são:
f(y,z) = -\sqrt{y^{2}+z^{2}}
e a restrição recebida no enunciado é 0 \leq x \leq 16.
Uma observação importante: há uma ambiguidade óbvia aqui, porque f(y,z)\le 0 para todo (y,z), então a condição 0\le x\le 16 não se cruza com x=f(y,z) a não ser no caso x=0. Para que o problema seja consistente (e isso é uma interpretação natural do tipo de exercício sobre cones), eu vou assumir que a intenção era considerar a porção do gráfico com
-16 \le x \le 0.
Se você tiver certeza de que o enunciado queria exatamente 0\le x\le16, então o único ponto comum seria x=0 (o ponto (0,0,0)), e a parametrização abaixo degeneraria a esse ponto. Vou prosseguir com a hipótese -16\le x\le0, que é a interpretação que torna a questão interessante.

Passo 2

Lembrete didático (passo-a-passo sobre gráficos): se você tem uma função f de duas variáveis f(y,z), o gráfico dessa função é o conjunto de pontos em \mathbb{R}^3 dado por
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x = f(y,z),\; (y,z)\in D\},
onde D\subset\mathbb{R}^2 é o domínio (ou a região de interesse) no plano (y,z). Uma parametrização natural do gráfico é simplesmente
g(y,z) = \big(f(y,z),\; y,\; z\big),
com D escolhido adequadamente. Aqui cada variável do domínio (y,z) vira coordenada direta na imagem, e a componente x é dada por f(y,z). Vou usar exatamente essa ideia.

Passo 3

Aplicando a ideia ao nosso f, definimos a parametrização direta pelo par de parâmetros (y,z):
g(y,z) = \big(f(y,z),\; y,\; z\big) = \big(-\sqrt{y^{2}+z^{2}},\; y,\; z\big).
Agora precisamos especificar o conjunto D\subset\mathbb{R}^2 que corresponde à porção do gráfico com -16\le x\le 0. Como x=f(y,z)=-\sqrt{y^2+z^2}, a desigualdade -16\le x\le 0 vira
-16 \le -\sqrt{y^2+z^2} \le 0.
Multiplicando por -1 (e lembrando de inverter as desigualdades ao multiplicar por número negativo), obtemos
0 \le \sqrt{y^2+z^2} \le 16.
Elevando ao quadrado (tudo não-negativo, então é seguro), isso equivale a
0 \le y^2+z^2 \le 256.
Portanto o domínio D é o disco fechado de raio 16 no plano (y,z):
D = \{(y,z)\in\mathbb{R}^2 \mid y^{2}+z^{2} \le 256\}.

Passo 4

Resumo e interpretação geométrica (bem didático): a superfície S é uma “metade” de cone (o cone reto cujo eixo é o eixo x), apontando no sentido negativo de x, e truncado entre x=-16 e x=0. A parametrização g(y,z)=(-\sqrt{y^{2}+z^{2}},y,z) pega cada ponto (y,z) do disco de raio 16 e coloca-o na posição tridimensional cujo primeiro componente é -o raio. Assim \operatorname{Im}g é exatamente S.

Passo 5

Forma alternativa (muito usada e frequentemente mais simples para superfícies com simetria circular): usar coordenadas polares no plano (y,z). Escrevemos y=r\cos\theta, z=r\sin\theta com r\ge0 e \theta\in[0,2\pi). Como \sqrt{y^2+z^2}=r, obtemos a parametrização
g(r,\theta)=(-r,\; r\cos\theta,\; r\sin\theta),
com domínio
D = \{(r,\theta)\mid 0\le r \le 16,\; 0\le \theta<2\pi\}.
Essa forma deixa explícito o papel do raio r (que vai de 0 a 16) e do ângulo \theta (que dá a volta completa).

Resposta

g(y,z)=\big(-\sqrt{y^{2}+z^{2}},\; y,\; z\big),\qquad D=\{(y,z)\in\mathbb{R}^2\mid y^{2}+z^{2}\le 256\}.
g(r,\theta)=\big(-r,\; r\cos\theta,\; r\sin\theta\big),\qquad D=\{(r,\theta)\mid 0\le r\le 16,\;0\le\theta<2\pi\}.

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