Em cada item, encontre uma parametrização
enfatizando o conjunto
que parametriza a superfície
quando esta o gráfico da função
.
e
.
Passo 1
O enunciado pede uma parametrização
tal que
seja a superfície
que é o gráfico da função dada. As informações dadas são:
e a restrição recebida no enunciado é
.
Uma observação importante: há uma ambiguidade óbvia aqui, porque para todo
, então a condição
não se cruza com
a não ser no caso
. Para que o problema seja consistente (e isso é uma interpretação natural do tipo de exercício sobre cones), eu vou assumir que a intenção era considerar a porção do gráfico com
Uma observação importante: há uma ambiguidade óbvia aqui, porque
Se você tiver certeza de que o enunciado queria exatamente
, então o único ponto comum seria
(o ponto
), e a parametrização abaixo degeneraria a esse ponto. Vou prosseguir com a hipótese
, que é a interpretação que torna a questão interessante.
Passo 2
Lembrete didático (passo-a-passo sobre gráficos): se você tem uma função
de duas variáveis
, o gráfico dessa função é o conjunto de pontos em
dado por
onde
é o domínio (ou a região de interesse) no plano
. Uma parametrização natural do gráfico é simplesmente
com
escolhido adequadamente. Aqui cada variável do domínio
vira coordenada direta na imagem, e a componente
é dada por
. Vou usar exatamente essa ideia.
Passo 3
Aplicando a ideia ao nosso
, definimos a parametrização direta pelo par de parâmetros
:
Agora precisamos especificar o conjunto
que corresponde à porção do gráfico com
. Como
, a desigualdade
vira
Multiplicando por
(e lembrando de inverter as desigualdades ao multiplicar por número negativo), obtemos
Elevando ao quadrado (tudo não-negativo, então é seguro), isso equivale a
Portanto o domínio
é o disco fechado de raio
no plano
:
Passo 4
Resumo e interpretação geométrica (bem didático): a superfície
é uma “metade” de cone (o cone reto cujo eixo é o eixo
), apontando no sentido negativo de
, e truncado entre
e
. A parametrização
pega cada ponto
do disco de raio
e coloca-o na posição tridimensional cujo primeiro componente é
o raio. Assim
é exatamente
.
Passo 5
Forma alternativa (muito usada e frequentemente mais simples para superfícies com simetria circular): usar coordenadas polares no plano
. Escrevemos
,
com
e
. Como
, obtemos a parametrização
com domínio
Essa forma deixa explícito o papel do raio
(que vai de
a
) e do ângulo
(que dá a volta completa).