Verifique a curva parametrizada por \alpha(t)=\left(e^{t} \cos (t), e^{t} \sin (t), e^{t}\right) está contida no cone z^{2}=x^{2}+y^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\alpha(t)=\bigl(e^{t}\cos t,\;e^{t}\sin t,\;e^{t}\bigr)
e pede para verificar se todos os pontos dessa curva satisfazem a equação do cone
z^{2}=x^{2}+y^{2}.
Informações relevantes: a curva é dada por coordenadas x(t)=e^{t}\cos t, y(t)=e^{t}\sin t e z(t)=e^{t}. O domínio implícito é t\in\mathbb{R}.

Passo 2

Vamos calcular x(t)^{2}+y(t)^{2}. Primeiro escrevo explicitamente x(t) e y(t):
x(t)=e^{t}\cos t,\qquad y(t)=e^{t}\sin t.
A ideia é somar os quadrados dessas duas expressões e simplificar usando propriedades elementares (potências e identidades trigonométricas).

Passo 3

Calculemos x(t)^{2}+y(t)^{2} passo a passo:
x(t)^{2}+y(t)^{2}=(e^{t}\cos t)^{2}+(e^{t}\sin t)^{2}.
Ao elevar um produto ao quadrado, elevamos cada fator ao quadrado:
(e^{t}\cos t)^{2}=e^{2t}\cos^{2}t,\qquad (e^{t}\sin t)^{2}=e^{2t}\sin^{2}t.
Somando:
x(t)^{2}+y(t)^{2}=e^{2t}\cos^{2}t+e^{2t}\sin^{2}t.
Fatorando e^{2t}:
x(t)^{2}+y(t)^{2}=e^{2t}\bigl(\cos^{2}t+\sin^{2}t\bigr).
Usamos a identidade pitagórica da trigonometria, que diz que para todo t vale \cos^{2}t+\sin^{2}t=1. Logo
x(t)^{2}+y(t)^{2}=e^{2t}.

Passo 4

Agora calculemos z(t)^{2}. Temos z(t)=e^{t}, então
z(t)^{2}=(e^{t})^{2}=e^{2t}.

Passo 5

Comparando os resultados dos passos anteriores, obtivemos
x(t)^{2}+y(t)^{2}=e^{2t}=z(t)^{2}
para todo t\in\mathbb{R}. Isso mostra que todo ponto \alpha(t) satisfaz a equação do cone. Observação adicional: como e^{t}>0 para todo t, temos z(t)>0, ou seja, a curva fica na “parte superior” (ou “nappe superior”) do cone.

Resposta

A curva \alpha(t)=\bigl(e^{t}\cos t,e^{t}\sin t,e^{t}\bigr) está contida no cone z^{2}=x^{2}+y^{2}; mais precisamente, sua imagem está na parte superior do cone, pois z=e^{t}>0 para todo t\in\mathbb{R}.

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