Verifique a curva parametrizada por
está contida no cone
.
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
e pede para verificar se todos os pontos dessa curva satisfazem a equação do cone
Informações relevantes: a curva é dada por coordenadas
,
e
. O domínio implícito é
.
Passo 2
Vamos calcular
. Primeiro escrevo explicitamente
e
:
A ideia é somar os quadrados dessas duas expressões e simplificar usando propriedades elementares (potências e identidades trigonométricas).
Passo 3
Calculemos
passo a passo:
Ao elevar um produto ao quadrado, elevamos cada fator ao quadrado:
Somando:
Fatorando
:
Usamos a identidade pitagórica da trigonometria, que diz que para todo
vale
. Logo
Passo 4
Agora calculemos
. Temos
, então
Passo 5
Comparando os resultados dos passos anteriores, obtivemos
para todo
. Isso mostra que todo ponto
satisfaz a equação do cone. Observação adicional: como
para todo
, temos
, ou seja, a curva fica na “parte superior” (ou “nappe superior”) do cone.
Resposta
A curva
está contida no cone
; mais precisamente, sua imagem está na parte superior do cone, pois
para todo
.