Em cada item, encontre a transformação linear T.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, tal que [T]_{\beta}^{\alpha}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\\\ -2 & 0 & 1\end{array}\right), onde
\alpha=\{(1,1,0),(0,0,1),(1,2,3)\} \quad \text { e } \quad \beta=\{(2,1),(-1,1)\}

Passo 1

O enunciado pede a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}
cuja matriz relativa à base do domínio \alpha=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} e à base do contradomínio \beta=\{w_{1},w_{2}\} é
[T]_{\beta}^{\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Aqui v_{1}=(1,1,0), v_{2}=(0,0,1), v_{3}=(1,2,3) e w_{1}=(2,1), w_{2}=(-1,1). Para achar T em coordenadas canônicas, vamos (i) determinar T(v_{j}) em função de w_{1},w_{2} e depois (ii) expressar um vetor genérico (x,y,z) em coordenadas de \alpha e aplicar a linearidade de T.

Passo 2

Pela definição de matriz de transformação entre bases, a coluna j de [T]_{\beta}^{\alpha} dá as coordenadas de T(v_{j}) na base \beta. Especificamente, se
[T]_{\beta}^{\alpha} = \begin{pmatrix} a_{1j}\\\ a_{2j} \end{pmatrix} ,
então
T(v_{j})=a_{1j}\,w_{1}+a_{2j}\,w_{2}.

Passo 3

Usando
[T]_{\beta}^{\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix},
obtém-se
- Para j=1: a_{11}=1,\;a_{21}=-2, logo
T(v_{1})=1\cdot w_{1}+(-2)\cdot w_{2} =(2,1)+(-2)\,(-1,1) =(2,1)+(2,-2) =(4,-1).
- Para j=2: a_{12}=0,\;a_{22}=0, logo
T(v_{2})=0\cdot w_{1}+0\cdot w_{2}=(0,0).
- Para j=3: a_{13}=0,\;a_{23}=1, logo
T(v_{3})=0\cdot w_{1}+1\cdot w_{2}=(-1,1).

Passo 4

Para aplicar T\) a um vetor genérico \((x,y,z)\), escrevemo-lo em coordenadas de \(\alpha\). Buscamos \(c_{1},c_{2},c_{3}\) tais que \[c_{1}(1,1,0)+c_{2}(0,0,1)+c_{3}(1,2,3)=(x,y,z).
Isto dá o sistema
\begin{cases} c_{1}+c_{3}=x,\\\ c_{1}+2c_{3}=y,\\\ c_{2}+3c_{3}=z. \end{cases}
Da segunda menos a primeira obtém-se c_{3}=y-x\]. Então \(c_{1}=x-c_{3}=2x-y e c_{2}=z-3c_{3}=z-3(y-x)=3x-3y+z.

Passo 5

Pela linearidade,
T(x,y,z) =T\bigl(c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}\bigr) =c_{1}\,T(v_{1})+c_{2}\,T(v_{2})+c_{3}\,T(v_{3}).
Como T(v_{2})=(0,0), fica
T(x,y,z) =(2x-y)\,(4,-1)+(y-x)\,(-1,1).
Calculando coordenada a coordenada:
\begin{aligned} \text{1ª coord.}&=4(2x-y)-1(y-x)=8x-4y-y+x=9x-5y,\\\ \text{2ª coord.}&=-1(2x-y)+1(y-x)=-2x+y+y-x=-3x+2y. \end{aligned}ªª

Resposta

T(x,y,z)=(9x-5y,\;-3x+2y).

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