Em cada item, encontre a transformação linear T. T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, tal que [T]_{\beta}^{\alpha}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\\\ -2 & 0 & 1\end{array}\right), onde
\alpha=\{(1,1,0),(0,0,1),(1,2,3)\} \quad \text { e } \quad \beta=\{(2,1),(-1,1)\}
Passo 1
O enunciado pede a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}
cuja matriz relativa à base do domínio \alpha=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} e à base do contradomínio \beta=\{w_{1},w_{2}\} é
Aqui v_{1}=(1,1,0), v_{2}=(0,0,1), v_{3}=(1,2,3) e w_{1}=(2,1), w_{2}=(-1,1). Para achar T em coordenadas canônicas, vamos (i) determinar T(v_{j}) em função de w_{1},w_{2} e depois (ii) expressar um vetor genérico (x,y,z) em coordenadas de \alpha e aplicar a linearidade de T.
Passo 2
Pela definição de matriz de transformação entre bases, a coluna j de [T]_{\beta}^{\alpha} dá as coordenadas de T(v_{j}) na base \beta. Especificamente, se
Para aplicar T\) a um vetor genérico \((x,y,z)\), escrevemo-lo em coordenadas de \(\alpha\). Buscamos \(c_{1},c_{2},c_{3}\) tais que
\[c_{1}(1,1,0)+c_{2}(0,0,1)+c_{3}(1,2,3)=(x,y,z).