Determine, em cada item abaixo, a matriz associada à transformação linear T com relação às bases \alpha e \beta.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T(v)=v, \alpha=\{(1,2,0),(2,1,0),(0,0,1)\} e \beta é a base canônica de \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3,\quad T(v)=v
(rel transformação identidade) em que a base do domínio é \alpha=\{(1,2,0),(2,1,0),(0,0,1)\}
e a base do contradomínio é a base canônica \beta=\{e_1,e_2,e_3\}.
O conteúdo principal aqui é “como montar a matriz de uma transformação linear dado domínio e contradomínio em bases não coincidentes”: cada coluna é a coordenada de T(\alpha_j) em relação a \beta.

Passo 2

Pela definição, a j-ésima coluna de [T]_{\beta,\alpha} é o vetor coluna das coordenadas de
T(\alpha_j)
na base \beta. Como T é a identidade, temos
T(\alpha_j)=\alpha_j
e, como \beta é a base canônica, as coordenadas de \alpha_j em \beta são justamente suas componentes usuais.

Passo 3

Aplicando isso às três geradoras de \alpha:
  • Para \alpha_1=(1,2,0), a coluna é \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix}.
  • Para \alpha_2=(2,1,0), a coluna é \begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
  • Para \alpha_3=(0,0,1), a coluna é \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Resposta

A matriz de T relativa a \alpha (domínio) e \beta (codomínio) é
[T]_{\beta,\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

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