Considere T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, tal que [T]_{\beta}^{\alpha}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & -1\end{array}\right), onde \alpha=\{(1,0,1),(0,1,1),(0,0,2)\} e \beta=\{(1,0,0),(0,-1,1),(1,0,2)\}. Determine as coordenadas, em relação à base \beta, dos vetores a seguir.
u=(1,0,1)

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas de u=(1,0,1) na base \beta=\{(1,0,0),(0,-1,1),(1,0,2)\}. Para isso, vamos escrever u como combinação linear dos vetores de \beta.

Passo 2

Suponha que
u = c_1\,(1,0,0) \;+\; c_2\,(0,-1,1) \;+\; c_3\,(1,0,2).
Comparando componentes, obtemos o sistema
\begin{cases} c_1 + c_3 = 1,\\\\ -\,c_2 = 0,\\\ c_2 + 2\,c_3 = 1. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação vem c_2=0. Substituindo na terceira obtemos 2c_3=1 e logo c_3=\frac{1}{2}. Finalmente, pela primeira equação c_1 = 1 - c_3 = \frac{1}{2}.

Resposta

\bigl[u\bigr]_\beta = \bigl(\tfrac12,\,0,\,\tfrac12\bigr).

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