Em cada item, encontre o vetor v \in V, com as informações dadas:
v]_{\alpha}=\left[\begin{array}{c}2 \\\\ 3 \\\\ -1\end{array}\right] onde \alpha=\{(1,0,-1),(3,1,3),(2,1,4)\} em V=\mathbb{R}^{3} ;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar claramente o que temos e o que é pedido):
  • Foi dado o vetor coordenado de v na base \alpha:
[v]_{\alpha}=\left[\begin{array}{c}2\\[4pt]3\\[4pt]-1\end{array}\right].
  • A base \alpha é
\alpha=\{(1,0,-1),\;(3,1,3),\;(2,1,4)\}
em V=\mathbb{R}^{3}.
O que o enunciado pede:
  • Encontrar o vetor v\in V escrito nas coordenadas usuais (ou seja, na base canônica de \mathbb{R}^3).]

Passo 2

Entendendo o que significa [v]_{\alpha}: se escrevemos \alpha=\{v_1,v_2,v_3\}, então
[v]_{\alpha}=\left[\begin{array}{c}c_1\\[4pt]c_2\\[4pt]c_3\end{array}\right]
significa que
v = c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3.
Aqui, identificamos os vetores e coeficientes:
v_1=(1,0,-1),\qquad v_2=(3,1,3),\qquad v_3=(2,1,4),
c_1=2,\qquad c_2=3,\qquad c_3=-1.]

Passo 3

Aplicando a fórmula v = c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3, substituindo os valores:
v = 2(1,0,-1) + 3(3,1,3) + (-1)(2,1,4).

Passo 4

Calcule cada termo do lado direito separadamente (multiplicação escalar componente a componente):
2(1,0,-1)=(2,0,-2),
3(3,1,3)=(9,3,9),
-1(2,1,4)=(-2,-1,-4).

Passo 5

Some os vetores componente a componente (explico: somar vetores significa somar as primeiras componentes, somar as segundas, somar as terceiras):
Primeira componente:
2 + 9 + (-2) = 9.
Segunda componente:
0 + 3 + (-1) = 2.
Terceira componente:
-2 + 9 + (-4) = 3.
Portanto a soma é
v=(9,2,3).

Passo 6

(Verificação alternativa, rápida, só para confirmar a conta.) Formando a matriz cujas colunas são os vetores da base:
A=\begin{pmatrix}1 & 3 & 2\\[4pt]0 & 1 & 1\\[4pt]-1 & 3 & 4\end{pmatrix}, \qquad [v]_{\alpha}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Multiplicando \,A\,[v]_{\alpha}\, obtém-se
\begin{pmatrix}1 & 3 & 2\\[4pt]0 & 1 & 1\\[4pt]-1 & 3 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\[4pt]3\\[4pt]-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}9\\[4pt]2\\[4pt]3\end{pmatrix},
o mesmo resultado, confirmando que v=(9,2,3).]

Resposta

\displaystyle v=\begin{pmatrix}9\\[4pt]2\\[4pt]3\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados