Em cada item, esboce o conjunto A e calcule sua área:
A é o conjunto do plano limitado pelo eixo x e por y=4-x^{2}, com -2 \leq x \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede que, para o conjunto A:
  • Esbocemos o conjunto no plano.
  • Calculemos a sua área.
Informações dadas:
  • O conjunto é limitado pelo eixo x e pela curva y=4-x^{2}.
  • O domínio em x é -2 \leq x \leq 1.
Portanto, precisamos desenhar a região do plano que fica entre a parábola y=4-x^{2} e a reta y=0 (eixo x), restrita ao intervalo -2 \leq x \leq 1, e então calcular a área dessa região.

Passo 2

Esboço do conjunto A (como desenhar no rascunho da prova):
  • Primeiro, identifique pontos importantes da parábola y=4-x^{2}.
    • Vértice: quando x=0, y=4. Então o vértice é (0,4).
    • Interseções com o eixo x: resolva 4-x^{2}=0, dando x=\pm 2. Assim, a parábola corta o eixo x em (-2,0) e (2,0).
    • Outro ponto útil: em x=1 temos y=4-1^{2}=3, então o ponto (1,3).
  • O enunciado restringe x a -2\le x\le 1. Então a região é o pedaço da parábola desde x=-2 até x=1.
  • Como y=4-x^{2} é não negativa nesse intervalo (em x=-2 vale 0, em x=1 vale 3 e no meio chega a 4), a região fica acima do eixo x.
  • Para esboçar: desenhe o eixo x, marque (-2,0), (0,4), (1,3) e desenhe a curva em forma de parábola voltada para baixo passando por esses pontos. A região A é a porção entre essa curva (em cima) e o eixo x (embaixo), do x=-2 até x=1. (Na prova, um desenho simples com essas marcações é suficiente.)

Passo 3

Como calcular a área: conceito e fórmula
  • Quando uma região é limitada verticalmente entre duas curvas y=f(x) (superior) e y=g(x) (inferior) para a\le x\le b, a área S dessa região é dada por
S=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.
  • Aqui a curva superior é f(x)=4-x^{2} e a curva inferior é g(x)=0 (o eixo x). Os limites são a=-2 e b=1.
  • Portanto, a área pedida é
S=\int_{-2}^{1}\bigl(4-x^{2}-0\bigr)\,dx=\int_{-2}^{1}\bigl(4-x^{2}\bigr)\,dx.
  • Breve explicação da ideia: a integral definida soma infinitesimais “retângulos” de base dx e altura f(x)-g(x). Integrar de a até b dá a área total.

Passo 4

Calcular a primitiva (antiderivada) de 4-x^{2}:
  • Regra para monômios: \displaystyle\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
  • Aplicando termo a termo:
    • \displaystyle\int 4\,dx = 4x porque 4 é constante.
    • \displaystyle\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
  • Logo, uma primitiva de 4-x^{2} é
F(x)=4x-\frac{x^{3}}{3}.
  • Isso significa que \displaystyle\frac{d}{dx}\!\left(4x-\frac{x^{3}}{3}\right)=4-x^{2}.

Passo 5

Avaliar a integral definida usando a primitiva:
  • Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
S=F(1)-F(-2),
onde F(x)=4x-\dfrac{x^{3}}{3}.
Calcule F(1):
F(1)=4\cdot 1-\frac{1^{3}}{3}=4-\frac{1}{3}=\frac{12}{3}-\frac{1}{3}=\frac{11}{3}.
Calcule F(-2):
F(-2)=4\cdot(-2)-\frac{(-2)^{3}}{3}=-8-\frac{-8}{3}=-8+\frac{8}{3}=\frac{-24}{3}+\frac{8}{3}=\frac{-16}{3}.
Agora subtraia:
S=F(1)-F(-2)=\frac{11}{3}-\left(\frac{-16}{3}\right)=\frac{11}{3}+\frac{16}{3}=\frac{27}{3}=9.

Passo 6

Interpretação e dica para a prova:
  • A área é 9, um número positivo como esperado já que a função estava acima do eixo x no intervalo.
  • Dica prática para a prova: sempre verifique onde a curva cruza o eixo x. Se a curva atravessasse o eixo dentro do intervalo, seria preciso dividir a integral nos pontos de interseção e somar áreas (usar valores absolutos se necessário). Neste caso, a interseção relevante (-2,0) está na borda do intervalo e a outra interseção (2,0) está fora do intervalo, então não foi preciso dividir.

Resposta

9

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