Em cada item, esboce o conjunto
e calcule sua área:
é o conjunto do plano limitado pelo eixo
e por
, com
.
Passo 1
O enunciado pede que, para o conjunto
:
- Esbocemos o conjunto no plano.
- Calculemos a sua área.
Informações dadas:
- O conjunto é limitado pelo eixo
e pela curva . - O domínio em
é .
Portanto, precisamos desenhar a região do plano que fica entre a parábola
e a reta
(eixo
), restrita ao intervalo
, e então calcular a área dessa região.
Passo 2
Esboço do conjunto
(como desenhar no rascunho da prova):
- Primeiro, identifique pontos importantes da parábola
. - Vértice: quando
, . Então o vértice é . - Interseções com o eixo
: resolva , dando . Assim, a parábola corta o eixo em e . - Outro ponto útil: em
temos , então o ponto .
- Vértice: quando
- O enunciado restringe
a . Então a região é o pedaço da parábola desde até . - Como
é não negativa nesse intervalo (em vale , em vale e no meio chega a ), a região fica acima do eixo . - Para esboçar: desenhe o eixo
, marque , , e desenhe a curva em forma de parábola voltada para baixo passando por esses pontos. A região é a porção entre essa curva (em cima) e o eixo (embaixo), do até . (Na prova, um desenho simples com essas marcações é suficiente.)
Passo 3
Como calcular a área: conceito e fórmula
- Quando uma região é limitada verticalmente entre duas curvas
(superior) e (inferior) para , a área dessa região é dada por
- Aqui a curva superior é
e a curva inferior é (o eixo ). Os limites são e . - Portanto, a área pedida é
- Breve explicação da ideia: a integral definida soma infinitesimais “retângulos” de base
e altura . Integrar de até dá a área total.
Passo 4
Calcular a primitiva (antiderivada) de
:
- Regra para monômios:
para . - Aplicando termo a termo:
-
porque é constante. -
.
-
- Logo, uma primitiva de
é
- Isso significa que
.
Passo 5
Avaliar a integral definida usando a primitiva:
- Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
onde
.
Calcule
:
Calcule
:
Agora subtraia:
Passo 6
Interpretação e dica para a prova:
- A área é
, um número positivo como esperado já que a função estava acima do eixo no intervalo. - Dica prática para a prova: sempre verifique onde a curva cruza o eixo
. Se a curva atravessasse o eixo dentro do intervalo, seria preciso dividir a integral nos pontos de interseção e somar áreas (usar valores absolutos se necessário). Neste caso, a interseção relevante está na borda do intervalo e a outra interseção está fora do intervalo, então não foi preciso dividir.