Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com velocidade v(t)=t^{2}-4 t+3, t \geq 0. Calcule o espaço percorrido entre t=0 e t=5.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade da partícula ao longo do eixo x:
v(t)=t^{2}-4t+3,\qquad t\ge 0.
Pede para calcular o espaço percorrido entre t=0 e t=5.
Informações relevantes: a função velocidade v(t) está definida em [0,5] e precisamos do espaço percorrido (distância total), não apenas do deslocamento.

Passo 2

Entendendo a ideia principal (bem devagarinho): velocidade é a taxa de variação da posição. Se eu integrar a velocidade ao longo do tempo, obtenho o deslocamento (mudança de posição com sinal). Mas o espaço percorrido (distância total) exige que eu some as distâncias percorridas mesmo quando a velocidade fica negativa — ou seja, devo integrar o valor absoluto da velocidade. Em fórmula:
\text{espaço percorrido}=\int_{0}^{5} |v(t)|\,dt.ç
Explicando os símbolos: t é o tempo, v(t) é a velocidade no tempo t, |v(t)| é o valor absoluto da velocidade (sempre não negativo), e a integral definida soma as pequenas contribuições de distância ao longo do tempo.

Passo 3

Para poder integrar |v(t)| é preciso saber onde v(t) muda de sinal. Então resolvemos
v(t)=t^{2}-4t+3=0.
Fatorando:
t^{2}-4t+3=(t-1)(t-3).
Portanto as raízes são t=1 e t=3.

Passo 4

Analisando o sinal de v(t) nos intervalos determinados pelas raízes:
  • Para t\in[0,1): teste t=0, v(0)=3>0 então v(t)>0 nesse intervalo.
  • Para t\in(1,3): teste t=2, v(2)=2^{2}-8+3=-1<0 então v(t)<0 nesse intervalo.
  • Para t\in(3,5]: teste t=4, v(4)=16-16+3=3>0 então v(t)>0 nesse intervalo.
    Conclusão: v(t) é positiva em [0,1) e (3,5], negativa em (1,3). Assim a integral de |v(t)| se faz em pedaços:
\int_{0}^{5}|v(t)|\,dt=\int_{0}^{1}v(t)\,dt+\int_{1}^{3}-v(t)\,dt+\int_{3}^{5}v(t)\,dt.

Passo 5

Vamos calcular as integrais definidas. Primeiro achamos uma primitiva (antiderivada) de v(t)=t^{2}-4t+3. Usamos a regra do poder: \int t^{n}\,dt=\dfrac{t^{n+1}}{n+1} e a linearidade da integral. Assim
\int (t^{2}-4t+3)\,dt=\frac{t^{3}}{3}-2t^{2}+3t + C.
Definimos a primitiva sem o C:
F(t)=\frac{t^{3}}{3}-2t^{2}+3t.
Aqui F'(t)=v(t).

Passo 6

Agora avaliamos F nos pontos necessários. Calculemos passo a passo:
  • F(0)=\dfrac{0^{3}}{3}-2\cdot 0^{2}+3\cdot 0=0.
  • F(1)=\dfrac{1^{3}}{3}-2\cdot 1^{2}+3\cdot 1=\dfrac{1}{3}-2+3=\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{4}{3}.
  • F(3)=\dfrac{3^{3}}{3}-2\cdot 3^{2}+3\cdot 3=\dfrac{27}{3}-18+9=9-18+9=0.
  • F(5)=\dfrac{5^{3}}{3}-2\cdot 5^{2}+3\cdot 5=\dfrac{125}{3}-50+15=\dfrac{125}{3}-35=\dfrac{125-105}{3}=\dfrac{20}{3}.

Passo 7

Calculamos cada integral definida usando F:
  • \displaystyle \int_{0}^{1}v(t)\,dt=F(1)-F(0)=\dfrac{4}{3}-0=\dfrac{4}{3}.
  • \displaystyle \int_{1}^{3}-v(t)\,dt=-(F(3)-F(1))=-(0-\dfrac{4}{3})=\dfrac{4}{3}. (aqui colocamos o sinal negativo porque v é negativo no intervalo)
  • \displaystyle \int_{3}^{5}v(t)\,dt=F(5)-F(3)=\dfrac{20}{3}-0=\dfrac{20}{3}.

Passo 8

Somando as contribuições (todas positivas, pois trabalhamos com |v|):
\text{espaço percorrido}=\dfrac{4}{3}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{20}{3}=\dfrac{28}{3}.ç
Se quiser em número misto, \dfrac{28}{3}=9\frac{1}{3}, ou decimal aproximado 9{,}333\ldots.

Resposta

\dfrac{28}{3}

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