Uma partícula desloca-se sobre o eixo
com velocidade
,
. Calcule o espaço percorrido entre
e
.
Passo 1
O enunciado dá a velocidade da partícula ao longo do eixo
:
Pede para calcular o espaço percorrido entre
e
.
Informações relevantes: a função velocidade está definida em
e precisamos do espaço percorrido (distância total), não apenas do deslocamento.
Informações relevantes: a função velocidade
Passo 2
Entendendo a ideia principal (bem devagarinho): velocidade é a taxa de variação da posição. Se eu integrar a velocidade ao longo do tempo, obtenho o deslocamento (mudança de posição com sinal). Mas o espaço percorrido (distância total) exige que eu some as distâncias percorridas mesmo quando a velocidade fica negativa — ou seja, devo integrar o valor absoluto da velocidade. Em fórmula:
Explicando os símbolos:
é o tempo,
é a velocidade no tempo
,
é o valor absoluto da velocidade (sempre não negativo), e a integral definida soma as pequenas contribuições de distância ao longo do tempo.
Passo 3
Para poder integrar
é preciso saber onde
muda de sinal. Então resolvemos
Fatorando:
Portanto as raízes são
e
.
Passo 4
Analisando o sinal de
nos intervalos determinados pelas raízes:
- Para
: teste , então nesse intervalo. - Para
: teste , então nesse intervalo. - Para
: teste , então nesse intervalo.
Conclusão:é positiva em e , negativa em . Assim a integral de se faz em pedaços:
Passo 5
Vamos calcular as integrais definidas. Primeiro achamos uma primitiva (antiderivada) de
. Usamos a regra do poder:
e a linearidade da integral. Assim
Definimos a primitiva sem o
:
Aqui
.
Passo 6
Agora avaliamos
nos pontos necessários. Calculemos passo a passo:
Passo 7
Calculamos cada integral definida usando
:
-
-
(aqui colocamos o sinal negativo porque é negativo no intervalo) -
Passo 8
Somando as contribuições (todas positivas, pois trabalhamos com
):
Se quiser em número misto,
, ou decimal aproximado
.