Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com velocidade v(t)=3 t-5, t \geq 0.
(a) Calcule o deslocamento entre t=1 e t=4.
(b) Determine o espaço percorrido entre t=1 \mathrm{e} t=4.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade da partícula e pede duas coisas entre t=1 e t=4:
  • Dado: a velocidade é v(t)=3t-5, para t\ge 0.
  • Pergunta (a): Calcular o deslocamento entre t=1 e t=4.
  • Pergunta (b): Determinar o espaço percorrido entre t=1 e t=4.
Vou resolver passo a passo e te explicar a teoria necessária ao longo do caminho — junta coragem, que a gente faz isso juntos!

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): deslocamento versus espaço percorrido.
  • Deslocamento é a variação da posição entre dois instantes; na linguagem matemática, é a integral da velocidade (com sinal) no intervalo. Se x(t) é a posição, então
\Delta x=\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt.
Aqui as variáveis: t é o tempo; v(t) é a velocidade (pode ser positiva ou negativa); \Delta x é o deslocamento (pode ser positivo, negativo ou zero).

Passo 3

Para calcular uma integral definida precisamos de uma antiderivada (primitiva) de v(t).
  • A função dada é v(t)=3t-5.
  • Uma antiderivada F(t) de v(t) satisfaz F'(t)=v(t).
  • Vamos encontrar F(t): integrar termo a termo.
\int (3t-5)\,dt = \int 3t\,dt - \int 5\,dt.
Regra: \int a t\,dt = a\frac{t^2}{2} e \int c\,dt = c t para constantes a,c.

Passo 4

Calcule a antiderivada explicitamente.
F(t)=\frac{3}{2}t^2 -5t + C,
onde C é constante (nos interessa a diferença F(4)-F(1) então C cancela).

Passo 5

Agora aplicamos a definição de deslocamento:
\Delta x=\int_{1}^{4} v(t)\,dt = F(4)-F(1).
Calcule F(4) e F(1) com cuidado (vou mostrar as contas em frações para ficar certinho).

Passo 6

Calcule F(4):
F(4)=\frac{3}{2}\cdot 4^2 -5\cdot 4 = \frac{3}{2}\cdot 16 -20 = 24 -20 = 4.
Calcule F(1):
F(1)=\frac{3}{2}\cdot 1^2 -5\cdot 1 = \frac{3}{2} -5 = \frac{3}{2}-\frac{10}{2} = -\frac{7}{2}.

Passo 7

Então o deslocamento é:
\Delta x = F(4)-F(1) = 4 -\left(-\frac{7}{2}\right) = 4 + \frac{7}{2} = \frac{8}{2}+\frac{7}{2}=\frac{15}{2}.
Interpretando: a partícula, no intervalo dado, terminou \frac{15}{2} unidades à frente de onde começou (positivo indica movimento resultante para a direção positiva do eixo x).

Passo 8

Agora o espaço percorrido (distância total) — teoria curta:
  • Espaço percorrido é a integral do módulo da velocidade: \displaystyle \int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt.
  • Se a velocidade não muda de sinal no intervalo, é só integrar v(t) (se for positiva) ou -v(t) (se for negativa). Se muda de sinal, precisamos dividir o intervalo nos pontos em que v(t)=0 e somar integrais com o sinal que torna cada parcela positiva (ou seja, integrar |v|).

Passo 9

Achar onde v(t)=0 no intervalo [1,4].
Resolva 3t-5=0:
t=\frac{5}{3}.
Esse valor está no intervalo [1,4] (pois 1<\tfrac{5}{3}<4). Verificamos o sinal de v:
  • Para t=1: v(1)=3\cdot1-5=-2 (negativa).
  • Para t=4: v(4)=3\cdot4-5=7 (positiva).
Logo a velocidade é negativa em [1,\tfrac{5}{3}) e positiva em (\tfrac{5}{3},4]. Precisamos dividir a integral.

Passo 10

Escrever a integral do valor absoluto e transformar em integrais usuais:
\text{espaço}=\int_{1}^{4} |v(t)|\,dt = \int_{1}^{5/3} -v(t)\,dt + \int_{5/3}^{4} v(t)\,dt.ç
Usamos -v(t) no primeiro intervalo porque v(t) é negativo ali, e v(t) no segundo porque é positivo.

Passo 11

Usar a mesma antiderivada F(t)=\frac{3}{2}t^2-5t para avaliar cada integral.
Calcule os valores já conhecidos e o novo F(5/3).

Passo 12

Calcule F(5/3):
F\!\left(\tfrac{5}{3}\right)=\frac{3}{2}\left(\tfrac{5}{3}\right)^2 -5\left(\tfrac{5}{3}\right) = \frac{3}{2}\cdot \frac{25}{9} - \frac{25}{3} = \frac{75}{18} - \frac{150}{18} = -\frac{75}{18} = -\frac{25}{6}.
(organizei denominadores para ficar exato)

Passo 13

Agora avalie cada integral usando F:
Primeira parte:
\int_{1}^{5/3} -v(t)\,dt = -\big(F(5/3)-F(1)\big) = -\Big(-\frac{25}{6} - \big(-\frac{7}{2}\big)\Big).
Segunda parte:
\int_{5/3}^{4} v(t)\,dt = F(4)-F(5/3) = 4 - \left(-\frac{25}{6}\right).

Passo 14

Calcule com cuidado as expressões em frações.
Primeira parte:
-\Big(-\frac{25}{6} + \frac{7}{2}\Big) = -\Big(-\frac{25}{6} + \frac{21}{6}\Big) = -\Big(-\frac{4}{6}\Big) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.
Segunda parte:
4 -\left(-\frac{25}{6}\right) = 4 + \frac{25}{6} = \frac{24}{6}+\frac{25}{6} = \frac{49}{6}.

Passo 15

Somar as duas partes para obter o espaço percorrido:
\text{espaço} = \frac{2}{3} + \frac{49}{6}.ç
Colocando em denominador comum 6:
\frac{2}{3}=\frac{4}{6},\quad \frac{4}{6}+\frac{49}{6}=\frac{53}{6}.
Em decimal isso é aproximadamente 8{,}8333\ldots, mas a forma exata \frac{53}{6} é melhor para prova.

Resposta

(a) \dfrac{15}{2}
(b) \dfrac{53}{6}

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