Uma partícula desloca-se sobre o eixo
com velocidade
,
.
(a) Calcule o deslocamento entre
e
.
(b) Determine o espaço percorrido entre
.
(a) Calcule o deslocamento entre
(b) Determine o espaço percorrido entre
Passo 1
O enunciado dá a velocidade da partícula e pede duas coisas entre
e
:
- Dado: a velocidade é
, para . - Pergunta (a): Calcular o deslocamento entre
e . - Pergunta (b): Determinar o espaço percorrido entre
e .
Vou resolver passo a passo e te explicar a teoria necessária ao longo do caminho — junta coragem, que a gente faz isso juntos!
Passo 2
Conceito importante (aula rápida): deslocamento versus espaço percorrido.
- Deslocamento é a variação da posição entre dois instantes; na linguagem matemática, é a integral da velocidade (com sinal) no intervalo. Se
é a posição, então
Aqui as variáveis:
é o tempo;
é a velocidade (pode ser positiva ou negativa);
é o deslocamento (pode ser positivo, negativo ou zero).
Passo 3
Para calcular uma integral definida precisamos de uma antiderivada (primitiva) de
.
- A função dada é
. - Uma antiderivada
de satisfaz . - Vamos encontrar
: integrar termo a termo.
Regra:
e
para constantes
.
Passo 4
Calcule a antiderivada explicitamente.
onde
é constante (nos interessa a diferença
então
cancela).
Passo 5
Agora aplicamos a definição de deslocamento:
Calcule
e
com cuidado (vou mostrar as contas em frações para ficar certinho).
Passo 6
Calcule
:
Calcule
:
Passo 7
Então o deslocamento é:
Interpretando: a partícula, no intervalo dado, terminou
unidades à frente de onde começou (positivo indica movimento resultante para a direção positiva do eixo
).
Passo 8
Agora o espaço percorrido (distância total) — teoria curta:
- Espaço percorrido é a integral do módulo da velocidade:
. - Se a velocidade não muda de sinal no intervalo, é só integrar
(se for positiva) ou (se for negativa). Se muda de sinal, precisamos dividir o intervalo nos pontos em que e somar integrais com o sinal que torna cada parcela positiva (ou seja, integrar ).
Passo 9
Achar onde
no intervalo
.
Resolva
:
Esse valor está no intervalo
(pois
). Verificamos o sinal de
:
- Para
: (negativa). - Para
: (positiva).
Logo a velocidade é negativa em
e positiva em
. Precisamos dividir a integral.
Passo 10
Escrever a integral do valor absoluto e transformar em integrais usuais:
Usamos
no primeiro intervalo porque
é negativo ali, e
no segundo porque é positivo.
Passo 11
Usar a mesma antiderivada
para avaliar cada integral.
Calcule os valores já conhecidos e o novo
.
Passo 12
Calcule
:
(organizei denominadores para ficar exato)
Passo 13
Agora avalie cada integral usando
:
Primeira parte:
Segunda parte:
Passo 14
Calcule com cuidado as expressões em frações.
Primeira parte:
Segunda parte:
Passo 15
Somar as duas partes para obter o espaço percorrido:
Colocando em denominador comum
:
Em decimal isso é aproximadamente
, mas a forma exata
é melhor para prova.
Resposta
(a)
(b)