Em cada item estude a existência de máximos e mínimos globais da função.
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sqrt{x^{2}+1}.

Passo 1

O enunciado pede para estudar se existem extremos globais (máximos ou mínimos) da função
f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=\sqrt{x^{2}+1}.
Vamos usar cálculo de derivada para achar pontos críticos e analisar também o comportamento de f(x) quando x\to\pm\infty.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Como
f(x) = (x^2+1)^{1/2},
pela regra da cadeia temos
f'(x) = \frac{1}{2}(x^2+1)^{-1/2}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.
Para achar pontos críticos, resolvemos
f'(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0.

Passo 3

Avaliamo­-os o valor de f em x=0:
f(0)=\sqrt{0^2+1}=1.
Além disso, note que para todo x\in\mathbb{R} vale
f(x)=\sqrt{x^2+1}\ge\sqrt{0+1}=1,
logo f(0)=1 é o menor valor que a função atinge em todo o domínio. Portanto f tem mínimo global em x=0.

Passo 4

Estudamos agora se há máximo global. Quando x\to+\infty ou x\to-\infty,
f(x)=\sqrt{x^2+1}\to+\infty,
ou seja, a função cresce sem limite e não se estabiliza num valor máximo. Portanto não existe máximo global.

Resposta

A função f(x)=\sqrt{x^2+1} possui mínimo global em x=0, com valor mínimo f(0)=1, e não possui máximo global.

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