Em cada item estude a existência de máximos e mínimos globais da função.
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\left(x^{3}-1\right)\left(e^{x}-1\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a existência de máximos e mínimos globais da função
f(x) = (x^3 - 1)\,(e^x - 1)
no domínio \mathbb{R}. Vamos precisar analisar o comportamento nos extremos do domínio (limites em x\to\pm\infty), calcular f'(x) para encontrar pontos críticos e estudar o sinal de f'(x) para determinar monotonicidade e classificação dos extremos.

Passo 2

Analisando os limites em x\to\pm\infty:
Para x\to +\infty temos x^3-1\sim x^3\to+\infty e e^x-1\sim e^x\to+\infty, logo
\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.
Para x\to -\infty temos x^3-1\sim x^3\to-\infty e e^x-1\to -1, então
\lim_{x\to-\infty}f(x)=(-\infty)\cdot(-1)=+\infty.
Portanto f(x)\to+\infty em ambas as extremidades, o que indica que só pode haver um mínimo global, não há máximo global.

Passo 3

Calculamos a derivada por produto:
f'(x)=\frac{d}{dx}(x^3-1)\,(e^x-1)+(x^3-1)\,\frac{d}{dx}(e^x-1)
f'(x)=3x^2\,(e^x-1)+(x^3-1)\,e^x.
Queremos resolver f'(x)=0, isto é
3x^2\,(e^x-1)+(x^3-1)\,e^x=0 \quad\Longleftrightarrow\quad e^x\,(x^3+3x^2-1)=3x^2.

Passo 4

Para achar numericamente a raiz da equação
e^x\,(x^3+3x^2-1)=3x^2
fazemos um estudo de sinal:
  • Em x=0, o lado esquerdo vale -1<0.
  • Em x=1, vale e\cdot3 -3>0.
    Logo há uma raiz única em (0,1). Por tentativas ou métodos numéricos obtém-se
x_0\approx0,68.

Passo 5

Testando o sinal de f'(x):
  • Para x<x_0 (por exemplo x=0) temos f'(x)<0, logo f decresce.
  • Para x>x_0 (por exemplo x=1) temos f'(x)>0, logo f cresce.
    Assim x_0\approx0,68 é ponto de mínimo e, devido ao comportamento em \pm\infty, é mínimo global.

Passo 6

Calculando o valor mínimo:
f(x_0)=(x_0^3-1)(e^{x_0}-1)\approx(0,68^3-1)\,(e^{0,68}-1)\approx -0,67.
Não existe máximo global porque f(x)\to+\infty em ambas as extremidades.

Resposta

A função não possui máximo global e tem um único mínimo global em
x\approx0,68,
com valor mínimo
f(x)\approx-0,67.

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