Em cada item estude a existência de máximos e mínimos globais da função.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a existência de máximos e mínimos globais da função
no domínio
. Vamos precisar analisar o comportamento nos extremos do domínio (limites em
), calcular
para encontrar pontos críticos e estudar o sinal de
para determinar monotonicidade e classificação dos extremos.
Passo 2
Analisando os limites em
:
Para temos
e
, logo
Para
Para
temos
e
, então
Portanto
em ambas as extremidades, o que indica que só pode haver um mínimo global, não há máximo global.
Passo 3
Calculamos a derivada por produto:
Queremos resolver
, isto é
Passo 4
Para achar numericamente a raiz da equação
fazemos um estudo de sinal:
- Em
, o lado esquerdo vale <0. - Em
, vale .
Logo há uma raiz única em. Por tentativas ou métodos numéricos obtém-se
Passo 5
Testando o sinal de
:
- Para
(por exemplo ) temos , logo decresce. - Para
(por exemplo ) temos , logo cresce.
Assimé ponto de mínimo e, devido ao comportamento em , é mínimo global.
Passo 6
Calculando o valor mínimo:
Não existe máximo global porque
em ambas as extremidades.
Resposta
A função não possui máximo global e tem um único mínimo global em
com valor mínimo