Em cada item estude a existência de máximos e mínimos globais da função.
(c) f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sqrt{x^{2}+1}.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a existência de máximos e mínimos globais da função
f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=\sqrt{x^{2}+1}.
O conteúdo aqui é análise de extremos globais em domínio não compacto.

Passo 2

Note que o domínio é \mathbb{R}, que não é compacto, então o Teorema de Weierstrass não garante extremos. Precisamos, portanto, analisar diretamente o comportamento de f.

Passo 3

Para buscar um mínimo, observe que
x^{2}\ge0\quad\Longrightarrow\quad x^{2}+1\ge1
e, como a raiz quadrada é crescente,
f(x)=\sqrt{x^{2}+1}\ge\sqrt{1}=1.
A igualdade ocorre exatamente quando x^{2}=0, ou seja, em x=0. Logo, f atinge o valor mínimo global 1 em x=0.

Passo 4

Para busca de máximo, calcule
\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^{2}+1}=+\infty,
e de modo análogo \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty. Assim, f não é limitada superiormente e não possui máximo global.

Resposta

A função tem mínimo global em x=0 de valor f(0)=1 e não possui máximo global.

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