Em cada item estude a existência de máximos e mínimos globais da função.
(d) f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\left(x^{3}-1\right)\left(e^{x}-1\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a existência de máximos e mínimos globais da função
f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad f(x)=(x^{3}-1)\,(e^{x}-1).
O conteúdo necessário envolve analisar o comportamento nos extremos do domínio (limites em \pm\infty), calcular a derivada para achar pontos críticos e usar o teste da primeira derivada para classificar extremos.

Passo 2

Analisamos o comportamento nos extremos do domínio:
\lim_{x\to+\infty}f(x) =\lim_{x\to+\infty}(x^{3}-1)(e^{x}-1) =+\infty\quad\text{(produto dominado por }e^{x}\text{ positivo)},
\lim_{x\to-\infty}f(x) =\lim_{x\to-\infty}(x^{3}-1)(e^{x}-1) =\lim_{x\to-\infty}(-\infty)\cdot(-1) =+\infty.
Logo, em ambas as “pontas” f(x)\to+\infty, o que impede a existência de um máximo global (pois f cresce sem limite).

Passo 3

Calculamos a derivada usando produto:
f'(x) =(x^{3}-1)'\,(e^{x}-1)+(x^{3}-1)\,(e^{x}-1)' =3x^{2}(e^{x}-1)+(x^{3}-1)e^{x}.
Podemos reescrever como
f'(x) =e^{x}(x^{3}+3x^{2}-1)-3x^{2}.

Passo 4

Para achar pontos críticos, resolvemos f'(x)=0, ou seja
e^{x}(x^{3}+3x^{2}-1)=3x^{2}.
Não há solução exata em forma fechada, mas procurando numericamente no intervalo (0,1) obtemos uma raiz
x_{0}\approx0,68.
Não aparecem outras soluções reais relevantes, pois para x<0 o lado esquerdo domina negativo e para x>0{,}68 o lado esquerdo cresce mais rápido que 3x^{2}, gerando apenas esse ponto crítico.

Passo 5

Usando o teste da primeira derivada:
– Para x<x_{0} nota-se f'(x)<0, ou seja f decresce até x_{0}.
– Para x>x_{0} temos f'(x)>0, ou seja f cresce após x_{0}.
Assim, em x_{0}\approx0,68 ocorre um mínimo local. Como as “puntas” vão a +\infty, esse mínimo local é também mínimo global.

Resposta

A função não possui máximo global e tem um único mínimo global em
x\approx0,68,
com valor aproximado
f(0,68)\approx-0,67.

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