Em cada item, dê exemplos de funções
e
tais que
e
estejam bem definidas e que
Passo 1
O enunciado pede para escolher funções f e g de um mesmo domínio em que tanto o composto g∘f quanto o produto pontual g·f façam sentido, mas que não coincidam.
Passo 2
Vamos trabalhar no domínio dos números reais, isto é, escolher f,g: ℝ→ℝ. Definimos então as funções de modo simples para facilitar as contas.
Passo 3
Definimos f(x)=x+1 e g(x)=x². Essas regras dizem que f leva cada real x em x+1, e g leva cada real x em x².
Passo 4
Calculamos o composto:
(g∘f)(x)=g(f(x))=g(x+1)=(x+1)²= x²+2x+1.
Passo 5
Calculamos o produto pontual:
(g·f)(x)=g(x)·f(x)=x²·(x+1)= x³+ x².
Passo 6
Comparando as duas expressões, vemos que (g∘f)(x)=x²+2x+1 difere de (g·f)(x)=x³+x² para quase todo x. Logo, g∘f≠g·f, como queríamos.
Resposta
Por exemplo, escolhemos f(x)=x+1 e g(x)=x² no domínio ℝ. Nesse caso (g∘f)(x)=(x+1)² e (g·f)(x)=x²(x+1), que são diferentes.