Em cada item, dê exemplos de funções f e g tais que
(g circ f)(x)=g(f(x)) e (g cdot f)(x)=g(x) cdot f(x) estejam bem definidas e que g circ f neq g cdot f

Passo 1

O enunciado pede para escolher funções f e g de um mesmo domínio em que tanto o composto g∘f quanto o produto pontual g·f façam sentido, mas que não coincidam.

Passo 2

Vamos trabalhar no domínio dos números reais, isto é, escolher f,g: ℝ→ℝ. Definimos então as funções de modo simples para facilitar as contas.

Passo 3

Definimos f(x)=x+1 e g(x)=x². Essas regras dizem que f leva cada real x em x+1, e g leva cada real x em x².

Passo 4

Calculamos o composto:
(g∘f)(x)=g(f(x))=g(x+1)=(x+1)²= x²+2x+1.

Passo 5

Calculamos o produto pontual:
(g·f)(x)=g(x)·f(x)=x²·(x+1)= x³+ x².

Passo 6

Comparando as duas expressões, vemos que (g∘f)(x)=x²+2x+1 difere de (g·f)(x)=x³+x² para quase todo x. Logo, g∘f≠g·f, como queríamos.

Resposta

Por exemplo, escolhemos f(x)=x+1 e g(x)=x² no domínio ℝ. Nesse caso (g∘f)(x)=(x+1)² e (g·f)(x)=x²(x+1), que são diferentes.

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