Em cada item, dê exemplos de funções f e g tais que
(g circ f)(x)=g(f(x)) esteja bem definidas e que Dom(g circ f) neq Dom(g) cap Dom(f)

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a composição de funções gcirc f tem domínio dado por xinDom(f):f(x)inDom(g), que geralmente difere de Dom(f)capDom(g). Vamos usar conteúdo de definição de domínio de composição.

Passo 2

Lembrando a teoria: dado f:Ato B e g:Cto D, a composição gcirc f só fica bem definida em xin A:f(x)in C. Ou seja,
Dom(gcirc f)=xinDom(f):f(x)inDom(g),

Passo 3

Exemplo 1 ( Dom(gcirc f) menor que a interseção): Defina
f(x)=x^2-1,Dom(f)=R,
[g(x)=\frac1x,\quad\mathrm{Dom}(g)=\mathbb{R}\setminus{0}.",
Então
Dom(f)capDom(g)=Rsetminus0,
Dom(gcirc f)=xinR:x^2-1neq0=Rsetminus-1,1,que de fato não coincide com Rsetminus0.

Passo 4

Exemplo 2 ( Dom(gcirc f) maior que a interseção): Defina
f(x)=x+2,Dom(f)=R,
g(x)=raizx-1,Dom(g)=[1,infty),
Então
Dom(f)capDom(g)=[1,infty),
Dom(gcirc f)=xinR:x+2>=1=[-1,infty),novamente diferente de [1,infty).

Resposta

  1. f(x)=x^2-1 com Dom(f)=ℝ e g(x)=1/x com Dom(g)=ℝ{0}; então Dom(g∘f)=ℝ{-1,1} ≠ Dom(f)∩Dom(g)=ℝ{0}. 2) f(x)=x+2 com Dom(f)=ℝ e g(x)=√(x−1) com Dom(g)=[1,∞); então Dom(g∘f)=[−1,∞) ≠ Dom(f)∩Dom(g)=[1,∞).

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