Para o modelo de corrida armamentista de Richardson
com condições iniciais arbitrárias
,
, mostre que a solução é dada por
onde
Mostre que este resultado implica que o comportamento qualitativo a longo prazo de tal corrida armamentista é o mesmo (
), não importa quais sejam os valores iniciais de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema de equações diferenciais que modela uma corrida armamentista, com as seguintes equações:
As condições iniciais são
e
. Nosso objetivo é mostrar que, conforme o tempo
vai aumentando, as funções
e
se aproximam de 2 e 3, respectivamente, independente dos valores iniciais
e
. Para isso, vamos usar um pouco de teoria de equações diferenciais e analisar o comportamento das soluções a longo prazo.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a solução geral do sistema, que foi dada assim:
Aqui,
e
são constantes que dependem das condições iniciais
e
. Mas o que isso significa para
e
conforme
aumenta?
Passo 3
Vamos focar nas partes que envolvem as exponenciais:
Sabemos que, em matemática, a função exponencial
tende a zero quando
vai para o infinito, desde que
seja um número positivo. Isso porque o termo $ -k t $ no expoente faz com que a função diminua rapidamente. No nosso caso, temos
e
, que são ambos positivos.
Passo 4
Então, à medida que
se torna muito grande:
Isso significa que, no limite quando
tende ao infinito, as soluções se simplificam para:
Resposta
Portanto, independentemente dos valores iniciais
e
, conforme o tempo
cresce, as funções
e
se aproximam de 2 e 3, respectivamente. Isso mostra que o comportamento qualitativo a longo prazo da corrida armamentista é o mesmo para quaisquer condições iniciais.