Para o modelo de corrida armamentista de Richardson
& d xd t=y-3 x+3 & d yd t=2 x-4 y+8
com condições iniciais arbitrárias x(0)=A, y(0)=B, mostre que a solução é dada por
& x(t)=C e^-5 t+D e^-2 t+2 & y(t)=-2 C e^-5 t+D e^-2 t+3
onde
& C=(A-B+1) / 3 & D=(2 A+B-7) / 3
Mostre que este resultado implica que o comportamento qualitativo a longo prazo de tal corrida armamentista é o mesmo ( x(t) 2, y(t) 3), não importa quais sejam os valores iniciais de x e y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema de equações diferenciais que modela uma corrida armamentista, com as seguintes equações:
d xd t &= y - 3x + 3 d yd t &= 2x - 4y + 8
As condições iniciais são x(0) = A e y(0) = B. Nosso objetivo é mostrar que, conforme o tempo t vai aumentando, as funções x(t) e y(t) se aproximam de 2 e 3, respectivamente, independente dos valores iniciais A e B. Para isso, vamos usar um pouco de teoria de equações diferenciais e analisar o comportamento das soluções a longo prazo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a solução geral do sistema, que foi dada assim:
x(t) &= C e^-5 t + D e^-2 t + 2 y(t) &= -2 C e^-5 t + D e^-2 t + 3
Aqui, C e D são constantes que dependem das condições iniciais A e B. Mas o que isso significa para x(t) e y(t) conforme t aumenta?

Passo 3

Vamos focar nas partes que envolvem as exponenciais:
  • C e^-5 t
  • D e^-2 t
Sabemos que, em matemática, a função exponencial e^-k t tende a zero quando t vai para o infinito, desde que k seja um número positivo. Isso porque o termo $ -k t $ no expoente faz com que a função diminua rapidamente. No nosso caso, temos -k t e k = 5, que são ambos positivos.

Passo 4

Então, à medida que t se torna muito grande:
  • C e^-5 t to 0
  • D e^-2 t to 0
Isso significa que, no limite quando t tende ao infinito, as soluções se simplificam para:
x(t) &to 2 y(t) &to 3

Resposta

Portanto, independentemente dos valores iniciais A e B, conforme o tempo t cresce, as funções x(t) e y(t) se aproximam de 2 e 3, respectivamente. Isso mostra que o comportamento qualitativo a longo prazo da corrida armamentista é o mesmo para quaisquer condições iniciais.

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