Em cada item expresse o vetor como combinação linear de p1(x)= 4 x^2+x+2, p2(x)=3 x^2-x+1 e p3(x)=5 x^2+2 x+3.
(b) 6 x^2+11 x+6

Passo 1

O enunciado pede para expressarmos o polinômio 6x^2+11x+6 como combinação linear dos vetores
,p1(x)=4x^2+x+2, ,p2(x)=3x^2-x+1 e ,p3(x)=5x^2+2x+3.
O conteúdo aqui é sobre coordenadas de um polinômio num sistema de vetores geradores e requer montar e resolver um sistema linear pelos coeficientes.

Passo 2

Suponha que existam escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha,p1(x)+beta,p2(x)+gamma,p3(x)=6x^2+11x+6
Escrevendo o lado esquerdo em termos de potências de x:
alpha(4x^2+x+2)+beta(3x^2-x+1)+gamma(5x^2+2x+3)
Isso dá
(4alpha+3beta+5gamma)x^2 ;+;(alpha-beta+2gamma)x;+;(2alpha+beta+3gamma)

Passo 3

Igualamos coeficientes em cada grau de x ao polinômio 6x^2+11x+6, gerando o sistema
4alpha+3beta+5gamma=6, alpha-beta+2gamma=11, 2alpha+beta+3gamma=6

Passo 4

Resolvendo por eliminação:
Da segunda equação vem beta=alpha+2gamma-11.
Multiplicando a terceira equação por 3 e subtraindo a primeira:
6alpha+3beta+9gamma=18 Longrightarrow (6alpha+3beta+9gamma)-(4alpha+3beta+5gamma)=18-6
2alpha+4gamma=12 Longrightarrow alpha+2gamma=6 Longrightarrow alpha=6-2gamma
Substituindo alpha e beta na primeira equação:
4(6-2gamma)+3(alpha+2gamma-11)+5gamma=6 ;Longrightarrow; 24-8gamma+3alpha+6gamma-33+5gamma=6 ;Longrightarrow; 3alpha+3gamma=15
Mas alpha=6-2gamma, então
3(6-2gamma)+3gamma=15 ;Longrightarrow; 18-6gamma+3gamma=15 ;Longrightarrow; 3gamma=3 ;Longrightarrow; gamma=1
Logo alpha=6-2cdot1=4 e beta=4+2cdot1-11=-5.

Passo 5

Concluímos que
6x^2+11x+6 =4,p1(x);-5,p2(x);+;1,p3(x)

Resposta

6x^2+11x+6=4,p1(x)-5,p2(x)+p3(x).

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