Em cada item expresse o vetor como combinação linear de p1(x)= 4 x^2+x+2, p2(x)=3 x^2-x+1 e p3(x)=5 x^2+2 x+3.
(c) 0

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor nulo (ou seja, o polinômio zero) como combinação linear de
p1(x)=4x^2+x+2, p2(x)=3x^2-x+1, p3(x)=5x^2+2x+3
Isso é conteúdo de espaço vetorial de polinômios e combinação linear: precisamos achar escalares a,b,c tais que
a,p1(x)+b,p2(x)+c,p3(x)=0

Passo 2

Escrevendo a combinação e igualando coeficientes em cada grau de x, temos
a(4x^2+x+2)+b(3x^2-x+1)+c(5x^2+2x+3)=0x^2+0x+0
Isso gera o sistema
4a+3b+5c=0, a - b+2c=0, 2a + b+3c=0

Passo 3

Da segunda equação, a - b+2c=0, isolamos
a = b - 2c
Substituindo em 2a + b+3c=0
2(b-2c)+b+3c=0 Longrightarrow 3b - c=0 Longrightarrow c=3b
Logo
a = b - 2,(3b) = -5b

Passo 4

Substituindo a=-5b e c=3b na primeira equação 4a+3b+5c=0 resulta em
4(-5b)+3b+5(3b)=(-20b+3b+15b)=-2b=0 Longrightarrow b=0
Então b=0, e portanto a=-5cdot0=0 e c=3cdot0=0.

Resposta

O polinômio zero é
0 = 0cdot p1(x) + 0cdot p2(x) + 0cdot p3(x)

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