Em cada item, faça o que se pede:
Considere f a função definida por f(x)=x^2-x+(4-@).
Determine, utilizando a definição, a derivada de f.

Passo 1

Vamos recapitular o que a questão pede e quais ferramentas vamos usar: queremos a derivada de uma função polinomial simples usando apenas a definição de derivada. Para isso, vamos precisar do conceito de limite e de manipulação algébrica para simplificar o quociente de diferença.

Passo 2

A definição de derivada de uma função f no ponto x é dada por
f'(x)=limhto 0f(x+h)-f(x)h,
onde precisamos calcular primeiro f(x+h) escrevendo a expressão da função para o valor x+h.

Passo 3

Substituindo x+h em f, temos
f(x+h)=(x+h)^2-(x+h)+(4-@)
Agora desenvolvemos a expressão:
(x+h)^2-(x+h)+(4-@)=x^2+2xh+h^2-x-h+4-@

Passo 4

Em seguida, montamos o numerador do quociente de diferença:
f(x+h)-f(x)=(x^2+2xh+h^2-x-h+4-@)-(x^2-x+4-@)
Ao subtrair, os termos x^2, -x e 4-@ se cancelam, sobrando
f(x+h)-f(x)=2xh+h^2-h

Passo 5

Dividimos pelo h e simplificamos:
f(x+h)-f(x)h=2xh+h^2-hh=2x+h-1

Passo 6

Por fim, fazemos hto0 no resultado anterior:
f'(x)=limhto0(2x+h-1)=2x-1

Resposta

f'(x)=2x-1

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