Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z=x+3 y\right\} é um subespaço do espaço vetorial \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z=x+3y\}
e pede para decidir se W é um subespaço do espaço vetorial \mathbb{R}^3.
Informações relevantes fornecidas:
  • Um elemento genérico de W tem coordenadas (x,y,z) que satisfazem a relação \;z=x+3y.\n
    A pergunta é: W é um subespaço de \mathbb{R}^3? Responder com Verdadeiro ou Falso e justificar.

Passo 2

Relembrando, para mostrar que um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^3 é subespaço devemos verificar três coisas (critério padrão, explicadas em palavras e com fórmulas):
  1. W não é vazio — normalmente verificamos se o vetor nulo (0,0,0) pertence a W.
  2. Fechamento por soma: se u\in W e v\in W, então u+v\in W.
  3. Fechamento por multiplicação escalar: se u\in W e \alpha\in\mathbb{R}, então \alpha u\in W.
Vou aplicar cada um desses itens a W. (Obs.: essas condições vêm da definição de subespaço linear; cada verificação usa apenas álgebra elementar de coordenadas.)

Passo 3

Verificar se o vetor nulo pertence a W.
O vetor nulo de \mathbb{R}^3 é (0,0,0). Substituindo na condição de W:
z = x + 3y \quad\Longrightarrow\quad 0 \stackrel{?}{=} 0 + 3\cdot 0.
Como 0 = 0, a igualdade é satisfeita, logo (0,0,0)\in W. Portanto W não é vazio.

Passo 4

Verificar fechamento por soma.
Sejam u=(x_1,y_1,z_1)\in W e v=(x_2,y_2,z_2)\in W. Como pertencem a W, temos
z_1 = x_1 + 3y_1,\qquad z_2 = x_2 + 3y_2.
Calculemos a soma componente a componente:
u+v=(x_1+x_2,\; y_1+y_2,\; z_1+z_2).
Agora verificamos a condição de W para u+v:
\text{coordenada } z \text{ de }(u+v)=z_1+z_2 = (x_1+3y_1)+(x_2+3y_2)=(x_1+x_2)+3(y_1+y_2).
Portanto a terceira coordenada de u+v é igual à soma das primeiras coordenadas mais três vezes a soma das segundas, isto é, z_{u+v}=(x_1+x_2)+3(y_1+y_2). Assim u+v satisfaz a relação defining W, logo u+v\in W. Concluímos que W é fechado sob soma.

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação escalar.
Seja u=(x,y,z)\in W com z=x+3y e seja \alpha\in\mathbb{R}. O vetor escalado é
\alpha u = (\alpha x,\;\alpha y,\;\alpha z).
A condição de W para \alpha u exige que a terceira coordenada valha a primeira mais três vezes a segunda; verifiquemos:
\text{coordenada } z \text{ de }\alpha u = \alpha z = \alpha(x+3y) = (\alpha x) + 3(\alpha y).
Logo \alpha u satisfaz a relação e pertence a W. Portanto W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 6

Conclusão direta a partir dos passos anteriores: W contém o vetor nulo e é fechado sob soma e multiplicação por escalar; por isso W é um subespaço de \mathbb{R}^3.

Passo 7

Comentário extra (útil na prova): uma forma alternativa e curta é observar que W é o núcleo da aplicação linear f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} definida por
f(x,y,z)=z-x-3y.
Como f é linear (soma e escala funcionam componente a componente) e o núcleo de uma transformação linear é sempre um subespaço, segue que W=\ker f é subespaço. Essa observação é elegante e costuma aparecer frequentemente em provas — memorize-a.

Resposta

V

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