Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
é um subespaço do espaço vetorial
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede para decidir se
é um subespaço do espaço vetorial
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Um elemento genérico de
tem coordenadas que satisfazem a relação .\n
A pergunta é:é um subespaço de ? Responder com Verdadeiro ou Falso e justificar.
Passo 2
Relembrando, para mostrar que um subconjunto
é subespaço devemos verificar três coisas (critério padrão, explicadas em palavras e com fórmulas):
-
não é vazio — normalmente verificamos se o vetor nulo pertence a . - Fechamento por soma: se
e , então . - Fechamento por multiplicação escalar: se
e , então .
Vou aplicar cada um desses itens a
. (Obs.: essas condições vêm da definição de subespaço linear; cada verificação usa apenas álgebra elementar de coordenadas.)
Passo 3
Verificar se o vetor nulo pertence a
.
O vetor nulo de é
. Substituindo na condição de
:
O vetor nulo de
Como
, a igualdade é satisfeita, logo
. Portanto
não é vazio.
Passo 4
Verificar fechamento por soma.
Sejam e
. Como pertencem a
, temos
Sejam
Calculemos a soma componente a componente:
Agora verificamos a condição de
para
:
Portanto a terceira coordenada de
é igual à soma das primeiras coordenadas mais três vezes a soma das segundas, isto é,
. Assim
satisfaz a relação defining
, logo
. Concluímos que
é fechado sob soma.
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação escalar.
Seja com
e seja
. O vetor escalado é
Seja
A condição de
para
exige que a terceira coordenada valha a primeira mais três vezes a segunda; verifiquemos:
Logo
satisfaz a relação e pertence a
. Portanto
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 6
Conclusão direta a partir dos passos anteriores:
contém o vetor nulo e é fechado sob soma e multiplicação por escalar; por isso
é um subespaço de
.
Passo 7
Comentário extra (útil na prova): uma forma alternativa e curta é observar que
é o núcleo da aplicação linear
definida por
Como
é linear (soma e escala funcionam componente a componente) e o núcleo de uma transformação linear é sempre um subespaço, segue que
é subespaço. Essa observação é elegante e costuma aparecer frequentemente em provas — memorize-a.
Resposta
V