[3.0] Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma transformação linear cuja matriz de transformação em relaçiòo às bases ordenadas A=\{(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)\} do \mathbb{R}^{3} e B=\{(1,2),(3,4)\} do \mathbb{R}^{2} é dada por:
(a) (1.0 points) Determine a expressāo da transformaçāo linear T(x, y, z).
(b) ( 1.0 points) Considere o vetor \mathbf{v}_{A}=(2,-1,3) na base A. Calcule as coordenadas de sua imagem T(\mathbf{v}) na base B, ou seja, determine [T(\mathbf{v})]_{B} através da matriz de transformação [T]_{A, B}.
(c) (1.0 points) Dado o vetor \mathbf{w}=(5,6) na base canônica do \mathbb{R}^{2}, determine o vetor de coordenadas [v]_{A}=(x, y, z) na base A tal que T(\mathbf{v})=\mathbf{w}_{B}.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado).
Bases e seus vetores (em coordenadas canônicas):
Base A do \mathbb{R}^3: os vetores são \,a_1=(1,1,0),\;a_2=(0,1,1),\;a_3=(1,0,1)\,.
Base B do \mathbb{R}^2: os vetores são \,b_1=(1,2),\;b_2=(3,4)\,.
Matriz de transformação linear de T relativa às bases A (domínio) e B (codomínio):
O enunciado pede:
(a) Determinar a expressão de T(x,y,z) em coordenadas canônicas (isto é, achar a forma T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 aplicada a um vetor (x,y,z) na base canônica).
(b) Para \mathbf{v}_A=(2,-1,3) (coordenadas de \mathbf{v} na base A), calcular [T(\mathbf{v})]_{B} (as coordenadas de T(\mathbf{v}) na base B) usando a matriz [T]_{A,B}.
(c) Dado \mathbf{w}=(5,6) em coordenadas canônicas do \mathbb{R}^2, encontrar [v]_A=(x,y,z) tal que T(\mathbf{v})=\mathbf{w}. (Irei primeiro expressar \mathbf{w} nas coordenadas da base B e depois resolver [T]_{A,B}[v]_A=[w]_B.)]
Passo 2
Estratégia para (a) (aula rápida sobre mudança de base):
Se P_A é a matriz cujas colunas são os vetores de A escritos na base canônica, então para um vetor canônico v vale [v]_A = P_A^{-1} v.
Se P_B é a matriz cujas colunas são os vetores de B na base canônica, então, dados os coeficientes [u]_B de um vetor u, o vetor em coordenadas canônicas é u = P_B\,[u]_B.
A relação entre a matriz de T na base canônica (chamei de M) e a matriz dada [T]_{A,B} éM = P_B\,[T]_{A,B}\,P_A^{-1},pois para v em coordenadas canônicas: T(v) = P_B\,[T]_{A,B}\,[v]_A = P_B\,[T]_{A,B}\,P_A^{-1} v.
Portanto, para achar T(x,y,z) basta calcular M e aplicar M ao vetor coluna (x,y,z).
onde as colunas de P_A são a_1,a_2,a_3 e as colunas de P_B são b_1,b_2.]
Passo 3
Calcular P_A^{-1} detalhadamente (é necessário para M).
Determinante de P_A: usando expansão pela primeira linha obtém-se \det(P_A)=2.
Matriz dos cofatores calculada passo a passo leva à adjunta\operatorname{adj}(P_A)=\begin{pmatrix}1 & 1 & -1\\[4pt]-1 & 1 & 1\\[4pt]1 & -1 & 1\end{pmatrix}^{\!T} =\begin{pmatrix}1 & 1 & -1\\[4pt]1 & 1 & -1\\[4pt]-1 & 1 & 1\end{pmatrix}^{\!T}(a forma final que usarei é a transposta dos cofatores; procedi ao cálculo dos menores e sinais).
(Dito de outro modo: as coordenadas de T(\mathbf{v}) na base B são (3,6).)]
Passo 6
Parte (c): achar [[v]_A=(x,y,z)) tal que T(\mathbf{v})=\mathbf{w}, com \mathbf{w}=(5,6) dado em coordenadas canônicas.
Procedimento:
Primeiro passo: converter \mathbf{w} para coordenadas na base B, isto é, achar [w]_B tal que P_B [w]_B = w.
Resolver c_1(1,2) + c_2(3,4) = (5,6). Isso dá o sistema
\begin{cases} x - y = -1,\\[4pt] 2x + y + z = 2. \end{cases}
Da primeira equação vem x=y-1\]. Substituindo na segunda:
\[2(y-1)+y+z=2 \;\Rightarrow\; 3y+z=4 \;\Rightarrow\; z=4-3y.\]
Portanto há infinitas soluções (pois temos 3 incógnitas e 2 equações). Tomando \(y como parâmetro t\in\mathbb{R}, obtemos