[3.0] Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma transformação linear cuja matriz de transformação em relaçiòo às bases ordenadas A=\{(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)\} do \mathbb{R}^{3} e B=\{(1,2),(3,4)\} do \mathbb{R}^{2} é dada por:
[T]_{A, B}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\\\ 2 & 1 & 1 \end{array}\right)
(a) (1.0 points) Determine a expressāo da transformaçāo linear T(x, y, z).
(b) ( 1.0 points) Considere o vetor \mathbf{v}_{A}=(2,-1,3) na base A. Calcule as coordenadas de sua imagem T(\mathbf{v}) na base B, ou seja, determine [T(\mathbf{v})]_{B} através da matriz de transformação [T]_{A, B}.
(c) (1.0 points) Dado o vetor \mathbf{w}=(5,6) na base canônica do \mathbb{R}^{2}, determine o vetor de coordenadas [v]_{A}=(x, y, z) na base A tal que T(\mathbf{v})=\mathbf{w}_{B}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado).
  • Bases e seus vetores (em coordenadas canônicas):
    • Base A do \mathbb{R}^3: os vetores são \,a_1=(1,1,0),\;a_2=(0,1,1),\;a_3=(1,0,1)\,.
    • Base B do \mathbb{R}^2: os vetores são \,b_1=(1,2),\;b_2=(3,4)\,.
  • Matriz de transformação linear de T relativa às bases A (domínio) e B (codomínio):
    [T]_{A,B}=\begin{pmatrix}1 & -1 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 1\end{pmatrix}.
  • O enunciado pede:
    (a) Determinar a expressão de T(x,y,z) em coordenadas canônicas (isto é, achar a forma T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 aplicada a um vetor (x,y,z) na base canônica).
    (b) Para \mathbf{v}_A=(2,-1,3) (coordenadas de \mathbf{v} na base A), calcular [T(\mathbf{v})]_{B} (as coordenadas de T(\mathbf{v}) na base B) usando a matriz [T]_{A,B}.
    (c) Dado \mathbf{w}=(5,6) em coordenadas canônicas do \mathbb{R}^2, encontrar [v]_A=(x,y,z) tal que T(\mathbf{v})=\mathbf{w}. (Irei primeiro expressar \mathbf{w} nas coordenadas da base B e depois resolver [T]_{A,B}[v]_A=[w]_B.)]

Passo 2

Estratégia para (a) (aula rápida sobre mudança de base):
  • Se P_A é a matriz cujas colunas são os vetores de A escritos na base canônica, então para um vetor canônico v vale [v]_A = P_A^{-1} v.
  • Se P_B é a matriz cujas colunas são os vetores de B na base canônica, então, dados os coeficientes [u]_B de um vetor u, o vetor em coordenadas canônicas é u = P_B\,[u]_B.
  • A relação entre a matriz de T na base canônica (chamei de M) e a matriz dada [T]_{A,B} é M = P_B\,[T]_{A,B}\,P_A^{-1},pois para v em coordenadas canônicas: T(v) = P_B\,[T]_{A,B}\,[v]_A = P_B\,[T]_{A,B}\,P_A^{-1} v.
  • Portanto, para achar T(x,y,z) basta calcular M e aplicar M ao vetor coluna (x,y,z).
Agora monto P_A e P_B:
P_A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1\end{pmatrix}, \qquad P_B=\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix},
onde as colunas de P_A são a_1,a_2,a_3 e as colunas de P_B são b_1,b_2.]

Passo 3

Calcular P_A^{-1} detalhadamente (é necessário para M).
  • Determinante de P_A: usando expansão pela primeira linha obtém-se \det(P_A)=2.
  • Matriz dos cofatores calculada passo a passo leva à adjunta \operatorname{adj}(P_A)=\begin{pmatrix}1 & 1 & -1\\[4pt]-1 & 1 & 1\\[4pt]1 & -1 & 1\end{pmatrix}^{\!T} =\begin{pmatrix}1 & 1 & -1\\[4pt]1 & 1 & -1\\[4pt]-1 & 1 & 1\end{pmatrix}^{\!T}(a forma final que usarei é a transposta dos cofatores; procedi ao cálculo dos menores e sinais).
  • Portanto P_A^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1 & -1\\[4pt]-1 & 1 & 1\\[4pt]1 & -1 & 1\end{pmatrix}.
(Se ficar confuso: P_A^{-1} é a matriz que transforma coordenadas canônicas em coordenadas na base A: [v]_A = P_A^{-1}v.)]

Passo 4

Calcular a matriz M = P_B\,[T]_{A,B}\,P_A^{-1} explicitamente, multiplicação feita passo a passo (sem pular contas).
Primeiro calcule [T]_{A,B}\,P_A^{-1}:
[T]_{A,B}=\begin{pmatrix}1 & -1 & 0\\[4pt]2 & 1 & 1\end{pmatrix},\qquad P_A^{-1}=\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1 & -1\\[4pt]-1 & 1 & 1\\[4pt]1 & -1 & 1\end{pmatrix}.
Multiplicando (faço a multiplicação de linhas por colunas e simplifico o fator 1/2 no final):
  • Linha 1 de [T]_{A,B} vezes P_A^{-1} dá, antes do 1/2: [2,0,-2], logo após o 1/2 é [1,0,-1].
  • Linha 2 de [T]_{A,B} vezes P_A^{-1} dá, antes do 1/2: [2,2,0], logo após o 1/2 é [1,1,0].
Assim
[T]_{A,B}\,P_A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\[4pt]1 & 1 & 0\end{pmatrix}.
Agora multiplico por P_B:
P_B=\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]2 & 4\end{pmatrix}, \quad [T]_{A,B}\,P_A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\[4pt]1 & 1 & 0\end{pmatrix}.
Produto M=P_B\,[T]_{A,B}\,P_A^{-1} obtido somando combinações de linhas:
  • Primeira linha de M: 1\cdot(1,0,-1) + 3\cdot(1,1,0) = (1+3,\,0+3,\, -1+0) = (4,3,-1).
  • Segunda linha de M: 2\cdot(1,0,-1) + 4\cdot(1,1,0) = (2+4,\,0+4,\, -2+0) = (6,4,-2).
Portanto
M=\begin{pmatrix}4 & 3 & -1\\[4pt]6 & 4 & -2\end{pmatrix}.
Isto significa que, em coordenadas canônicas,
T(x,y,z)=\begin{pmatrix}4 & 3 & -1\\[4pt]6 & 4 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4x+3y-z\\[4pt]6x+4y-2z\end{pmatrix}.]

Passo 5

Parte (b): calcular [T(\mathbf{v})]_B para \mathbf{v}_A=(2,-1,3).
Aqui é direto: em coordenadas da base A aplica-se a matriz [T]_{A,B}:
[T]_{A,B}\begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\\[4pt]3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & -1 & 0\\[4pt]2 & 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Faço as multiplicações linha a linha:
  • Primeira entrada: 1\cdot2 + (-1)\cdot(-1) + 0\cdot3 = 2+1+0 = 3.
  • Segunda entrada: 2\cdot2 + 1\cdot(-1) + 1\cdot3 = 4-1+3 = 6.
Logo
[T(\mathbf{v})]_B=\begin{pmatrix}3\\[4pt]6\end{pmatrix}.
(Dito de outro modo: as coordenadas de T(\mathbf{v}) na base B são (3,6).)]

Passo 6

Parte (c): achar [[v]_A=(x,y,z)) tal que T(\mathbf{v})=\mathbf{w}, com \mathbf{w}=(5,6) dado em coordenadas canônicas.
Procedimento:
  1. Primeiro passo: converter \mathbf{w} para coordenadas na base B, isto é, achar [w]_B tal que P_B [w]_B = w.
    Resolver c_1(1,2) + c_2(3,4) = (5,6). Isso dá o sistema
    \begin{cases} c_1 + 3c_2 = 5,\\[4pt] 2c_1 + 4c_2 = 6. \end{cases}
    Subtraindo 2\] vezes a primeira equação da segunda obtemos \[2c_2=4\Rightarrow c_2=2. Então c_1+3\cdot2=5\Rightarrow c_1=-1.
    Assim
    [w]_B=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\end{pmatrix}.
  2. Segundo passo: resolver o sistema linear em [v]_A=(x,y,z):
    [T]_{A,B}\,[v]_A = [w]_B, \qquad\text{i.e.}\qquad \begin{pmatrix}1 & -1 & 0\\[4pt]2 & 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\end{pmatrix}.
    Escrevendo as equações:
    \begin{cases} x - y = -1,\\[4pt] 2x + y + z = 2. \end{cases}
    Da primeira equação vem x=y-1\]. Substituindo na segunda: \[2(y-1)+y+z=2 \;\Rightarrow\; 3y+z=4 \;\Rightarrow\; z=4-3y.\] Portanto há infinitas soluções (pois temos 3 incógnitas e 2 equações). Tomando \(y como parâmetro t\in\mathbb{R}, obtemos
    x=t-1,\qquad y=t,\qquad z=4-3t.
    Em forma vetorial:
    [v]_A=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}t-1\\[4pt]t\\[4pt]4-3t\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.
    Por exemplo, escolhendo t=0 obtemos a solução particular [v]_A=(-1,0,4).]

Resposta

(a) T(x,y,z)=\begin{pmatrix}4x+3y-z\\[4pt]6x+4y-2z\end{pmatrix}.
(b) [T(\mathbf{v})]_B=\begin{pmatrix}3\\[4pt]6\end{pmatrix}.
(c) [v]_A=\begin{pmatrix}t-1\\[4pt]t\\[4pt]4-3t\end{pmatrix},\;t\in\mathbb{R} (por exemplo, tomando t=0 [v]_A=(-1,0,4)).]

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