[2.5] Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} a transformação linear definida por:
T(x, y, z)=(x+y+z, 2 x+2 y+2 z, x-z, 3 y+5 z)
(a) (1.5 points) Determine uma base para o núcleo (\operatorname{Nuc}(T)) da transformação linear T e defina se T é injetora.
(b) (1.0 points) Determine uma base para a imagem (\operatorname{Im}(T)) da transformação linear T e defina se T é sobrejetora.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4 definida por
T(x,y,z)=(x+y+z,\;2x+2y+2z,\;x-z,\;3y+5z).
As perguntas são:
(a) Determinar uma base para o núcleo \operatorname{Nuc}(T) e dizer se T é injetora.
(b) Determinar uma base para a imagem \operatorname{Im}(T) e dizer se T é sobrejetora.
Dados relevantes que vamos usar:
  • Resolver T(x,y,z)=0 para encontrar o núcleo.
  • A imagem é o subespaço gerado pelas colunas da matriz associada a T (ou equivalentemente pelos vetores T(e_1),T(e_2),T(e_3)).
  • Teorema posto: para uma transformação linear de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^4, \dim(\operatorname{Nuc}(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))=3 (teorema do núcleo-imagem).

Passo 2

Escrever a matriz associada A de T em relação às bases canônicas. As colunas são T(e_1),T(e_2),T(e_3). Calculando:
T(1,0,0)=(1,2,1,0),\quad T(0,1,0)=(1,2,0,3),\quad T(0,0,1)=(1,2,-1,5).
Portanto
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 2 & 2\\[4pt] 1 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 3 & 5 \end{pmatrix},
onde A é uma matriz 4\times3 e T(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.]

Passo 3

Definir e montar o sistema para o núcleo. Por definição,
\operatorname{Nuc}(T)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}\}.
Escrevendo as equações do sistema A[x\;y\;z]^T=0:
\begin{cases} x+y+z=0,\\[4pt] 2x+2y+2z=0,\\[4pt] x-z=0,\\[4pt] 3y+5z=0. \end{cases}
Observação rápida: a segunda equação é simplesmente duas vezes a primeira, então não traz nova informação.]

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo (substituição simples).
  • Da terceira equação temos \,x-z=0\Rightarrow x=z.
  • Da quarta equação temos \,3y+5z=0\Rightarrow y=-\dfrac{5}{3}z.
  • Substituindo em x+y+z=0:
z + \left(-\dfrac{5}{3}z\right) + z = \left(1 - \dfrac{5}{3} + 1\right)z = \dfrac{1}{3}z = 0.
Logo z=0. Então x=z=0 e y=-\dfrac{5}{3}\cdot 0=0. Assim a única solução é x=y=z=0.
Conclusão: \operatorname{Nuc}(T)=\{(0,0,0)\}, isto é, o núcleo é o subespaço trivial.

Passo 5

Interpretação sobre injetividade e dimensão do núcleo. Por definição, T é injetora se e somente se \operatorname{Nuc}(T)=\{0\}. Como encontramos apenas a solução trivial, T é injetora. Pelo teorema núcleo-imagem:
\dim(\operatorname{Nuc}(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))=3,
logo \dim(\operatorname{Im}(T))=3.

Passo 6

Determinar uma base para a imagem. A imagem é o subespaço gerado pelas colunas de A, isto é
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 0\\\ 3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ -1\\\ 5\end{pmatrix}\right\}.
Argumento da independência linear: se \alpha,\beta,\gamma satisfazem
\alpha\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 0\\\ 3\end{pmatrix}+\gamma\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ -1\\\ 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},
isso é a mesma equação matricial A\begin{pmatrix}\alpha\\beta\\gamma\end{pmatrix}=0. Como o núcleo de A é trivial, segue \alpha=\beta=\gamma=0. Assim as três colunas são linearmente independentes e, como já vimos, têm dimensão 3 — portanto formam uma base de \operatorname{Im}(T).

Passo 7

Decidir sobre sobrejetividade. A imagem tem dimensão 3 enquanto o contradomínio \mathbb{R}^4 tem dimensão 4. Como \dim(\operatorname{Im}(T))<4, a imagem não é todo \mathbb{R}^4. Logo T não é sobrejetora. (Intuição: uma aplicação linear de um espaço de dimensão menor que o do contradomínio nunca pode ser sobrejetora.)

Resposta

(a) Base de \operatorname{Nuc}(T): \varnothing. T é injetora.
(b) Base de \operatorname{Im}(T): \displaystyle \left\{\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 0\\\ 3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ -1\\\ 5\end{pmatrix}\right\}. T não é sobrejetora.

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