Em cada item, são dados os pontos médios dos lados do triângulo A B C. Determine as coordenadas dos vértices.
(a) M=(1,1), N=(0,3), P=(-2,2)

Passo 1

O enunciado dá os pontos médios dos lados do triângulo A B C e pede as coordenadas dos vértices. Os dados são:
  • M=(1,1)
  • N=(0,3)
  • P=(-2,2)
Vou assumir a convenção padrão de geometria analítica: M é o ponto médio do segmento \overline{BC}, N é o ponto médio do segmento \overline{CA} e P é o ponto médio do segmento \overline{AB}. O objetivo é encontrar as coordenadas de A, B e C.

Passo 2

Lembrete (fórmula importante): o ponto médio entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é
\left(\frac{x_1+x_2}{2},\;\frac{y_1+y_2}{2}\right).
Isso significa, em linguagem vetorial, que se \mathbf{M} é o ponto médio de \mathbf{B} e \mathbf{C} então
\mathbf{M}=\frac{\mathbf{B}+\mathbf{C}}{2},
e o mesmo vale para os outros pares de vértices.

Passo 3

Coloco as incógnitas dos vértices como
A=(x_A,y_A),\qquad B=(x_B,y_B),\qquad C=(x_C,y_C).
Aplicando a fórmula do ponto médio aos três dados obtemos, componente a componente:
\begin{cases} \displaystyle \frac{x_B+x_C}{2}=1,\\[4pt] \displaystyle \frac{y_B+y_C}{2}=1, \end{cases} \quad \begin{cases} \displaystyle \frac{x_C+x_A}{2}=0,\\[4pt] \displaystyle \frac{y_C+y_A}{2}=3, \end{cases} \quad \begin{cases} \displaystyle \frac{x_A+x_B}{2}=-2,\\[4pt] \displaystyle \frac{y_A+y_B}{2}=2. \end{cases}
Essas são seis equações lineares em seis incógnitas.]

Passo 4

É mais elegante e rápido resolver esse sistema usando soma/subtração das igualdades vetoriais. Escrevendo as igualdades vetoriais (multiplicando tudo por 2):
\begin{cases} x_B+x_C=2\cdot1=2,\\[4pt] y_B+y_C=2\cdot1=2, \end{cases} \quad \begin{cases} x_C+x_A=2\cdot0=0,\\[4pt] y_C+y_A=2\cdot3=6, \end{cases} \quad \begin{cases} x_A+x_B=2\cdot(-2)=-4,\\[4pt] y_A+y_B=2\cdot2=4. \end{cases}
Em forma vetorial:
\begin{aligned} \mathbf{B}+\mathbf{C}&=2\mathbf{M},\\\ \mathbf{C}+\mathbf{A}&=2\mathbf{N},\\\ \mathbf{A}+\mathbf{B}&=2\mathbf{P}. \end{aligned}
Somando a segunda e a terceira equações e subtraindo a primeira:
(\mathbf{C}+\mathbf{A})+(\mathbf{A}+\mathbf{B})-(\mathbf{B}+\mathbf{C}) = 2\mathbf{N}+2\mathbf{P}-2\mathbf{M}.
No lado esquerdo os termos se cancelam de modo que sobra 2\mathbf{A}. Logo
2\mathbf{A}=2(\mathbf{P}+\mathbf{N}-\mathbf{M}) \quad\Rightarrow\quad \mathbf{A}=\mathbf{P}+\mathbf{N}-\mathbf{M}.
Pelo mesmo raciocínio (permuta cíclica) obtemos
\mathbf{B}=\mathbf{P}+\mathbf{M}-\mathbf{N}, \qquad \mathbf{C}=\mathbf{M}+\mathbf{N}-\mathbf{P}.
Essa é uma forma padrão e rápida de recuperar os vértices a partir dos pontos médios.]

Passo 5

Agora substituo as coordenadas numéricas de M, N e P.
Cálculo de A:
\mathbf{A}=\mathbf{P}+\mathbf{N}-\mathbf{M}
\Rightarrow\quad x_A = (-2)+0-1 = -3, \qquad y_A = 2+3-1 = 4.
Portanto A=(-3,4).
Cálculo de B:
\mathbf{B}=\mathbf{P}+\mathbf{M}-\mathbf{N}
\Rightarrow\quad x_B = (-2)+1-0 = -1, \qquad y_B = 2+1-3 = 0.
Portanto B=(-1,0).
Cálculo de C:
\mathbf{C}=\mathbf{M}+\mathbf{N}-\mathbf{P}
\Rightarrow\quad x_C = 1+0-(-2) = 3, \qquad y_C = 1+3-2 = 2.
Portanto C=(3,2).

Passo 6

Checagem rápida (opcional, só para ficar tranquilo): calcular o ponto médio de B e C:
\left(\frac{-1+3}{2},\frac{0+2}{2}\right)=(1,1)=M,
ok. Ponto médio de C e A:
\left(\frac{3+(-3)}{2},\frac{2+4}{2}\right)=(0,3)=N,
ok. Ponto médio de A e B:
\left(\frac{-3+(-1)}{2},\frac{4+0}{2}\right)=(-2,2)=P,
ok — tudo confere.

Resposta

A=(-3,4)
B=(-1,0)
C=(3,2)

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