Prove que os pontos A=(2,2), B=(-4,-6), C=(4,-12) são vértices de um triângulo retângulo e indique o ponto no qual o ângulo reto se encontra.
Passo 1
O enunciado dá três pontos no plano e pede para mostrar que eles são vértices de um triângulo retângulo e indicar onde está o ângulo reto. Os dados são:
A=(2,2)
B=(-4,-6)
C=(4,-12)
O que se pede:
Provar que o triângulo ABC é retângulo (isto é, que um dos ângulos internos vale 90^\circ).
Dizer em qual vértice esse ângulo reto se encontra.
Passo 2
Escolha do método e ideia básica (explicação didática). Vou usar vetores e o produto escalar (dot product). Motivo: com coordenadas é um método direto, algébrico e evita problemas com declives infinitos (retas verticais).
Breve aula sobre produto escalar: para dois vetores \vec{u}=(u_1,u_2) e \vec{v}=(v_1,v_2) define-se
onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}. Assim, se \vec{u}\cdot\vec{v}=0 e nenhum dos vetores for nulo, então \cos\theta=0 e \theta=90^\circ: os vetores (e, portanto, as retas que os representam) são perpendiculares. Na prática, para mostrar que um ângulo do triângulo é reto basta calcular o produto escalar dos vetores formados por dois lados que se encontram nesse vértice e verificar se dá zero.
Passo 3
Definir e calcular vetores lado a lado (explicando como subtrair coordenadas). Para dois pontos P=(x_P,y_P) e Q=(x_Q,y_Q) o vetor \overrightarrow{PQ} tem coordenadas (x_Q-x_P,\;y_Q-y_P). Calculo dos vetores relevantes:
Como o produto escalar não é 0, o ângulo em A NÃO é reto.
Passo 5
Calcular produto escalar no vértice B (ver se o ângulo em B é reto). Os vetores que se encontram em B podem ser \overrightarrow{BA} e \overrightarrow{BC}. Calculemos:
Como o produto escalar é 0 e nenhum dos vetores é o vetor nulo, concluímos que os vetores são perpendiculares, ou seja, o ângulo formado pelos lados BA e BC (o ângulo no vértice B) é de 90^\circ.
Passo 6
Conclusão final e verificação rápida: encontramos um produto escalar nulo em B, logo o triângulo ABC tem um ângulo reto em B. Não é necessário checar C, mas por completude poderia-se calcular \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB} e ver que não será zero (o que confirma que só B é o ângulo reto).
Comentário de reforço (exemplo didático): vetores (6,8) e (8,-6) são perpendiculares porque 6\cdot 8 + 8\cdot(-6)=0. Exemplo simples para fixar: (1,0)\cdot(0,1)=0 mostra que os eixos x e y são perpendiculares.
Resposta
Os pontos formam um triângulo retângulo; o ângulo reto está em B=(-4,-6).