Em cada item, são dados os pontos médios dos lados do triângulo
. Determine as coordenadas dos vértices.
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado dá os pontos médios dos lados do triângulo
e pede as coordenadas dos vértices. Os dados são:
,
,
.
Vou assumir a notação padrão:
-
é o ponto médio de , -
é o ponto médio de , -
é o ponto médio de .
O que se pede: encontrar as coordenadas de
,
e
.
Passo 2
Lembrete/definição importante (fórmula do ponto médio).
Se e
, o ponto médio
do segmento
é
Se
Isto significa, em forma vetorial, que
onde a soma e multiplicação por escalares são feitas coordenada a coordenada.
Aplicando isso aos nossos pontos médios temos as igualdades vetoriais
Estas três equações equivalem, coordenada a coordenada, a seis equações lineares (duas por ponto médio).
Passo 3
Vamos manipular as equações para isolar
,
e
em função de
.
Some as três igualdades:
O lado direito soma os termos e dá
Portanto
Agora obtemos cada vértice subtraindo somas apropriadas. Por exemplo,
De modo análogo,
Essas fórmulas são práticas: cada vértice é a soma dos dois pontos médios que não tocam aquele vértice, menos o ponto médio do lado oposto.
Passo 4
Agora aplicamos as fórmulas com os valores numéricos dados.
Calcular
:
Coordenada
:
Coordenada
:
Logo
.
Calcular
:
Coordenada
:
Coordenada
:
Logo
.
Calcular
:
Coordenada
:
Coordenada
:
Logo
.
Passo 5
Verificação rápida (confirmação dos pontos médios):
- Ponto médio de
:
- Ponto médio de
:
- Ponto médio de
:
Confere com os dados fornecidos.