Em cada item, são dados os pontos médios dos lados do triângulo A B C. Determine as coordenadas dos vértices.
(b) M=(3,2), N=(3,4), P=(-1,3)

Passo 1

O enunciado dá os pontos médios dos lados do triângulo A B C e pede as coordenadas dos vértices. Os dados são:
M=(3,2), N=(3,4), P=(-1,3).
Vou assumir a notação padrão:
  • M é o ponto médio de B C,
  • N é o ponto médio de C A,
  • P é o ponto médio de A B.
O que se pede: encontrar as coordenadas de A, B e C.

Passo 2

Lembrete/definição importante (fórmula do ponto médio).
Se X=(x_1,y_1) e Y=(x_2,y_2), o ponto médio Q do segmento XY é
Q=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right).
Isto significa, em forma vetorial, que
Q=\frac{X+Y}{2},
onde a soma e multiplicação por escalares são feitas coordenada a coordenada.
Aplicando isso aos nossos pontos médios temos as igualdades vetoriais
M=\frac{B+C}{2},\qquad N=\frac{C+A}{2},\qquad P=\frac{A+B}{2}.
Estas três equações equivalem, coordenada a coordenada, a seis equações lineares (duas por ponto médio).

Passo 3

Vamos manipular as equações para isolar A, B e C em função de M,N,P.
Some as três igualdades:
M+N+P=\frac{B+C}{2}+\frac{C+A}{2}+\frac{A+B}{2}.
O lado direito soma os termos e dá
\frac{2A+2B+2C}{2}=A+B+C.
Portanto
A+B+C=M+N+P.
Agora obtemos cada vértice subtraindo somas apropriadas. Por exemplo,
A=(A+B+C)-(B+C)=M+N+P-2M=N+P-M.
De modo análogo,
B=P+M-N,
C=M+N-P.
Essas fórmulas são práticas: cada vértice é a soma dos dois pontos médios que não tocam aquele vértice, menos o ponto médio do lado oposto.

Passo 4

Agora aplicamos as fórmulas com os valores numéricos dados.
Calcular A:
A=N+P-M.
Coordenada x:
x_A=3+(-1)-3=-1.
Coordenada y:
y_A=4+3-2=5.
Logo A=(-1,5).
Calcular B:
B=P+M-N.
Coordenada x:
x_B=-1+3-3=-1.
Coordenada y:
y_B=3+2-4=1.
Logo B=(-1,1).
Calcular C:
C=M+N-P.
Coordenada x:
x_C=3+3-(-1)=7.
Coordenada y:
y_C=2+4-3=3.
Logo C=(7,3).

Passo 5

Verificação rápida (confirmação dos pontos médios):
  • Ponto médio de A B:
\left(\frac{-1+(-1)}{2},\frac{5+1}{2}\right)=(-1,3)=P.
  • Ponto médio de B C:
\left(\frac{-1+7}{2},\frac{1+3}{2}\right)=(3,2)=M.
  • Ponto médio de C A:
\left(\frac{7+(-1)}{2},\frac{3+5}{2}\right)=(3,4)=N.
Confere com os dados fornecidos.

Resposta

A=(-1,5)
B=(-1,1)
C=(7,3)

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