Para cada item a seguir, calcule rot overrightarrow{\mathbf{F}}.
\vec{F}(x, y, z)=\cos (z) \vec{i}+x z \vec{j}+\sqrt{y} \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do rotacional (curl) da campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=\cos(z)\,\vec{i}+x z\,\vec{j}+\sqrt{y}\,\vec{k}.
O conteúdo aqui é o rotacional em coordenadas cartesianas, cujo cálculo usa derivadas parciais segundo a definição
\nabla\times\vec{F} =\Bigl(\frac{\partial F_{z}}{\partial y}-\frac{\partial F_{y}}{\partial z}\Bigr)\vec{i} +\Bigl(\frac{\partial F_{x}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial x}\Bigr)\vec{j} +\Bigl(\frac{\partial F_{y}}{\partial x}-\frac{\partial F_{x}}{\partial y}\Bigr)\vec{k}.

Passo 2

Identificamos as componentes de \vec{F}:
F_{x}=\cos(z), \quad F_{y}=x\,z, \quad F_{z}=\sqrt{y}.

Passo 3

Calculamos a componente em \vec{i}:
\frac{\partial F_{z}}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\sqrt{y}\bigr) =\frac{1}{2\sqrt{y}}, \qquad \frac{\partial F_{y}}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x\,z\bigr) =x.
Logo,
(\nabla\times\vec{F})_{x} =\frac{1}{2\sqrt{y}}-x.

Passo 4

Calculamos a componente em \vec{j}:
\frac{\partial F_{x}}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}\bigl(\cos(z)\bigr) =-\sin(z), \qquad \frac{\partial F_{z}}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\sqrt{y}\bigr) =0.
Logo,
(\nabla\times\vec{F})_{y} =-\sin(z)-0 =-\sin(z).

Passo 5

Calculamos a componente em \vec{k}:
\frac{\partial F_{y}}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,z\bigr) =z, \qquad \frac{\partial F_{x}}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\cos(z)\bigr) =0.
Logo,
(\nabla\times\vec{F})_{z} =z-0 =z.

Resposta

\nabla\times\vec{F} =\Bigl(\frac{1}{2\sqrt{y}}-x\Bigr)\vec{i} -\sin(z)\,\vec{j} +z\,\vec{k}.

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