Em cada item a seguir, determine: o domínio, as interseções com os eixos (se possível), os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos locais e globais, os intervalos de concavidade, os pontos de inflexão, as assíntotas de
. Em seguida, esboce o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado pede uma análise completa da função
Isso envolve: domínio; interseções com eixos; pontos críticos; intervalos de crescimento/decrescimento; extremos locais e globais; intervalos de concavidade; pontos de inflexão; assíntotas; e, por fim, o esboço do gráfico.
Passo 2
Domínio: o denominador não pode ser zero, logo
Interseção com o eixo
: em
,
isto é,
.
Interseção com o eixo : resolver
implica
, impossível, logo não há raízes.
Interseção com o eixo
Passo 3
Derivada primeira: usando a regra do quociente,
Pontos críticos:
quando
, ou seja
.
Análise de sinal de : o numerador
muda de sinal em
; o denominador é sempre positivo em cada ramo do domínio. Concluímos:
Análise de sinal de
-
em e em , ou seja, decrescente nesses intervalos. -
em , ou seja, crescente ali.
Logo há um mínimo local em, com
Não há máximos locais.
Globalmente não há mínimo atingido (o ínfimo é
, mas não é alcançado) nem máximo (vai a
).
Passo 4
Derivada segunda:
O fator
é sempre positivo, e
. Assim o sinal de
vem de
:
-
em : concavidade para baixo. -
em : concavidade para cima.
Não há pontos de inflexão no domínio, pois a mudança de sinal ocorre em, que não pertence ao domínio.
Passo 5
Assíntotas:
- Vertical em
.
- Horizontal em
para , pois .
Para, exponencialmente, não há outra horizontal nem oblíqua.
Passo 6
Esboço do gráfico (qualitativo):
- Em
: , decrescente e côncava para baixo, aproximando-se de quando e indo a em . - Em
: , decrescente e côncava para cima, cai de em até . - Em
: , crescente e côncava para cima, passa por e cresce sem limite.
Resposta
Domínio:
Interseções: com em
; sem interseção com
.
Ponto crítico: , mínimo local com
.
Crescimento: decrescente em e
; crescente em
.
Extremos: mínimo local em ; sem máximo local nem extremos globais atingidos.
Concavidade: côncavo para baixo em ; côncavo para cima em
.
Pontos de inflexão: nenhum no domínio.
Assíntotas: vertical ; horizontal
(para
).
Gráfico: conforme descrito no esboço do passo anterior.
Interseções: com
Ponto crítico:
Crescimento: decrescente em
Extremos: mínimo local em
Concavidade: côncavo para baixo em
Pontos de inflexão: nenhum no domínio.
Assíntotas: vertical
Gráfico: conforme descrito no esboço do passo anterior.