Em cada item a seguir, determine: o domínio, as interseções com os eixos (se possível), os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos locais e globais, os intervalos de concavidade, os pontos de inflexão, as assíntotas de f. Em seguida, esboce o gráfico de f.
f(x)=\frac{2 e^{x}}{x+2}

Passo 1

O enunciado pede uma análise completa da função
f(x)=\frac{2e^{x}}{x+2}
Isso envolve: domínio; interseções com eixos; pontos críticos; intervalos de crescimento/decrescimento; extremos locais e globais; intervalos de concavidade; pontos de inflexão; assíntotas; e, por fim, o esboço do gráfico.

Passo 2

Domínio: o denominador não pode ser zero, logo
\text{Dom}(f)=(-\infty,-2)\,\cup\,(-2,\infty).
Interseção com o eixo y: em x=0,
f(0)=\frac{2e^0}{0+2}=1,
isto é, (0,1).
Interseção com o eixo x: resolver f(x)=0 implica 2e^x=0, impossível, logo não há raízes.

Passo 3

Derivada primeira: usando a regra do quociente,
f'(x)=\frac{2e^x(x+2)-2e^x\cdot1}{(x+2)^2} =\frac{2e^x(x+1)}{(x+2)^2}.
Pontos críticos: f'(x)=0 quando x+1=0, ou seja x=-1.
Análise de sinal de f': o numerador 2e^x(x+1) muda de sinal em x=-1; o denominador é sempre positivo em cada ramo do domínio. Concluímos:
  • f'<0 em (-\infty,-2) e em (-2,-1), ou seja, decrescente nesses intervalos.
  • f'>0 em (-1,\infty), ou seja, crescente ali.
    Logo há um mínimo local em x=-1, com
f(-1)=\frac{2e^{-1}}{-1+2}=\frac{2}{e}.
Não há máximos locais.
Globalmente não há mínimo atingido (o ínfimo é 0, mas não é alcançado) nem máximo (vai a +\infty).

Passo 4

Derivada segunda:
f''(x) =\frac{2e^x\bigl(x^2+2x+2\bigr)}{(x+2)^3}.
O fator x^2+2x+2=(x+1)^2+1 é sempre positivo, e 2e^x>0. Assim o sinal de f'' vem de (x+2)^3:
  • f''(x)<0 em (-\infty,-2): concavidade para baixo.
  • f''(x)>0 em (-2,\infty): concavidade para cima.
    Não há pontos de inflexão no domínio, pois a mudança de sinal ocorre em x=-2, que não pertence ao domínio.

Passo 5

Assíntotas:
  • Vertical em x=-2.
    \displaystyle \lim_{x\to -2^-}f(x)=-\infty,\quad\lim_{x\to -2^+}f(x)=+\infty.
  • Horizontal em y=0 para x\to -\infty, pois e^x\to0.
    Para x\to+\infty, f(x)\to+\infty exponencialmente, não há outra horizontal nem oblíqua.

Passo 6

Esboço do gráfico (qualitativo):
  • Em (-\infty,-2): f<0, decrescente e côncava para baixo, aproximando-se de y=0 quando x\to -\infty e indo a -\infty em x\to -2^-.
  • Em (-2,-1): f>0, decrescente e côncava para cima, cai de +\infty em x\to -2^+ até \bigl(-1,2/e\bigr).
  • Em (-1,\infty): f>0, crescente e côncava para cima, passa por (0,1) e cresce sem limite.

Resposta

Domínio: (-\infty,-2)\cup(-2,\infty)
Interseções: com y em (0,1); sem interseção com x.
Ponto crítico: x=-1, mínimo local com f(-1)=2/e.
Crescimento: decrescente em (-\infty,-2) e (-2,-1); crescente em (-1,\infty).
Extremos: mínimo local em \bigl(-1,2/e\bigr); sem máximo local nem extremos globais atingidos.
Concavidade: côncavo para baixo em (-\infty,-2); côncavo para cima em (-2,\infty).
Pontos de inflexão: nenhum no domínio.
Assíntotas: vertical x=-2; horizontal y=0 (para x\to-\infty).
Gráfico: conforme descrito no esboço do passo anterior.

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