Dada a função
, calcule
e
de modo que
seja abscissa de um extremo relativo e
seja a abscissa de um ponto de inflexão do gráfico dessa função. Para esses valores de
e
, determine:
a) intervalos de crescimento ou decrescimento da função;
b) os extremos relativos da função;
c) os pontos de inflexão do gráfico da função;
d) um esboço do gráfico.
a) intervalos de crescimento ou decrescimento da função;
b) os extremos relativos da função;
c) os pontos de inflexão do gráfico da função;
d) um esboço do gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede os valores de
e
tais que
seja abscissa de extremo relativo e
abscissa de ponto de inflexão. Vamos usar derivada primeira para extremos e derivada segunda para inflexão.
Passo 2
Calculemos
a condição de extremo em
é
, ou seja
Em seguida,
e a condição de inflexão em
é
, logo
Passo 3
Para
e
a função fica
e
Passo 4
Estude o sinal de
:
- Para
: e ⇒ (cresce). - Para
: e ⇒ (decresce). - Para
: e ⇒ (cresce).
Passo 5
Como
passa de positivo a negativo em
, há máximo relativo em
. Como passa de negativo a positivo em
, há mínimo relativo em
.
Calculemos os valores:
Calculemos os valores:
Passo 6
O ponto de inflexão ocorre onde
, isto é em
. Seu valor é
Passo 7
Para esboçar o gráfico, note que
-
e . - Máximo relativo em
. - Ponto de inflexão em
. - Mínimo relativo em
.
O gráfico é uma cúbica que sobe até, desce passando por (inflexão), continua até e depois cresce indefinidamente.
Resposta
(a) Cresce em
e decresce em
.
(b) Máximo relativo em e mínimo relativo em
.
(c) Ponto de inflexão em .
(d) Gráfico de cúbica com comportamento: sobe até , desce passando por inflexão em
, atinge mínimo em
e depois sobe.
(b) Máximo relativo em
(c) Ponto de inflexão em
(d) Gráfico de cúbica com comportamento: sobe até