Dada a função y=x^{3}-2 m x^{2}+n^{2} x+3, calcule m e n de modo que x=0 seja abscissa de um extremo relativo e x=2 seja a abscissa de um ponto de inflexão do gráfico dessa função. Para esses valores de m e n, determine:
a) intervalos de crescimento ou decrescimento da função;
b) os extremos relativos da função;
c) os pontos de inflexão do gráfico da função;
d) um esboço do gráfico.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{3}-2m\,x^{2}+n^{2}x+3
e pede os valores de m e n tais que x=0 seja abscissa de extremo relativo e x=2 abscissa de ponto de inflexão. Vamos usar derivada primeira para extremos e derivada segunda para inflexão.

Passo 2

Calculemos
f'(x)=3x^{2}-4m\,x+n^{2},
a condição de extremo em x=0 é f'(0)=0, ou seja
n^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad n=0.
Em seguida,
f''(x)=6x-4m,
e a condição de inflexão em x=2 é f''(2)=0, logo
6\cdot2-4m=0\quad\Longrightarrow\quad m=3.

Passo 3

Para m=3 e n=0 a função fica
f(x)=x^{3}-6x^{2}+3
e
f'(x)=3x^{2}-12x=3x(x-4).

Passo 4

Estude o sinal de f'(x)=3x(x-4):
  • Para x<0: x<0 e x-4<0 f'(x)>0 (cresce).
  • Para 0<x<4: x>0 e x-4<0 f'(x)<0 (decresce).
  • Para x>4: x>0 e x-4>0 f'(x)>0 (cresce).

Passo 5

Como f' passa de positivo a negativo em x=0, há máximo relativo em x=0. Como passa de negativo a positivo em x=4, há mínimo relativo em x=4.
Calculemos os valores:
f(0)=3, \qquad f(4)=4^{3}-6\cdot4^{2}+3=64-96+3=-29.

Passo 6

O ponto de inflexão ocorre onde f''(x)=6x-12=0, isto é em x=2. Seu valor é
f(2)=2^{3}-6\cdot2^{2}+3=8-24+3=-13.

Passo 7

Para esboçar o gráfico, note que
  • \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty e \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty.
  • Máximo relativo em (0,3).
  • Ponto de inflexão em (2,-13).
  • Mínimo relativo em (4,-29).
    O gráfico é uma cúbica que sobe até (0,3), desce passando por (2,-13) (inflexão), continua até (4,-29) e depois cresce indefinidamente.

Resposta

m=3, n=0.
(a) Cresce em (-\infty,0)\cup(4,\infty) e decresce em (0,4).
(b) Máximo relativo em (0,3) e mínimo relativo em (4,-29).
(c) Ponto de inflexão em (2,-13).
(d) Gráfico de cúbica com comportamento: sobe até (0,3), desce passando por inflexão em (2,-13), atinge mínimo em (4,-29) e depois sobe.

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