Em cada item a seguir, determine: o domínio, as interseções com os eixos (se possível), os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos locais e globais, os intervalos de concavidade, os pontos de inflexão, as assíntotas de
. Em seguida, esboce o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado pede para a função
determinar: domínio, interseções com os eixos, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos locais e globais, intervalos de concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, esboçar o gráfico. Vamos usar regra do quociente (ou produto), testes de primeira e segunda derivada e limites em infinito.
Passo 2
Domínio: como
para todo
, temos
Passo 3
Interseções com os eixos:
- Para o eixo
, resolvemos :
Logo intercepto em
.
- Para o eixo
, basta calcular :
confirmando o mesmo ponto
.
Passo 4
Derivada primeira e pontos críticos:
Usando produto ,
Usando produto
Zeramos
:
Não há indefinições, então o único ponto crítico é
e
Passo 5
Crescimento, decrescimento e extremos:
- Para
, e ⇒ ⇒ cresce. - Para
, ⇒ ⇒ decresce.
Logoé máximo local. Como para a função tende a e para tende a , esse máximo é também global. Não há mínimo local.
Passo 6
Derivada segunda, concavidade e ponto de inflexão:
Anulando
dá
e
- Para
, ⇒ ⇒ concavidade para baixo. - Para
, ⇒ ⇒ concavidade para cima.
Portantoé ponto de inflexão em .
Passo 7
Assíntotas:
- Limite em
:
logo assíntota horizontal
do lado direito.
- Limite em
:
não há assíntota horizontal nem oblíqua nessa direção.
- Não existem valores de
que anulam o denominador, então não há assíntota vertical.
Passo 8
Esboço do gráfico:
- Passa por
. - Cresce até
, seu máximo global. - Decrece, muda de concavidade em
e se aproxima de por cima quando . - Para
decai indefinidamente para .
Resposta
Domínio:
Interseção com eixos:
Ponto crítico: ,
Cresce em , decresce em
Máximo local e global em
Concavidade para baixo em , para cima em
Ponto de inflexão em
Assíntota horizontal: (quando
)
Sem assíntotas verticais ou oblíquas.
Interseção com eixos:
Ponto crítico:
Cresce em
Máximo local e global em
Concavidade para baixo em
Ponto de inflexão em
Assíntota horizontal:
Sem assíntotas verticais ou oblíquas.