Em cada item a seguir, determine: o domínio, as interseções com os eixos (se possível), os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos locais e globais, os intervalos de concavidade, os pontos de inflexão, as assíntotas de f. Em seguida, esboce o gráfico de f.
f(x)=\frac{x}{e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x) = \frac{x}{e^{x}} = x e^{-x}
determinar: domínio, interseções com os eixos, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, extremos locais e globais, intervalos de concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e, por fim, esboçar o gráfico. Vamos usar regra do quociente (ou produto), testes de primeira e segunda derivada e limites em infinito.

Passo 2

Domínio: como e^{x}\neq 0 para todo x\in\mathbb{R}, temos
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}.

Passo 3

Interseções com os eixos:
  • Para o eixo x, resolvemos f(x)=0:
\frac{x}{e^{x}}=0\quad\Longrightarrow\quad x=0.
Logo intercepto em (0,0).
  • Para o eixo y, basta calcular f(0):
f(0)=\frac{0}{e^{0}}=0,
confirmando o mesmo ponto (0,0).

Passo 4

Derivada primeira e pontos críticos:
Usando produto x\cdot e^{-x},
f'(x) = 1\cdot e^{-x} + x\cdot(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x).
Zeramos f'(x)=0:
e^{-x}(1 - x)=0\quad\Longrightarrow\quad 1 - x = 0\quad\Longrightarrow\quad x=1.
Não há indefinições, então o único ponto crítico é x=1 e
f(1)=\frac{1}{e}.

Passo 5

Crescimento, decrescimento e extremos:
  • Para x<1, 1-x>0 e e^{-x}>0 f'(x)>0 f cresce.
  • Para x>1, 1-x<0 f'(x)<0 f decresce.
    Logo x=1 é máximo local. Como para x\to\infty a função tende a 0 e para x\to -\infty tende a -\infty, esse máximo é também global. Não há mínimo local.

Passo 6

Derivada segunda, concavidade e ponto de inflexão:
f''(x) = \frac{d}{dx}\bigl[e^{-x}(1 - x)\bigr] = -e^{-x}(1 - x) + e^{-x}(-1) = e^{-x}(x - 2).
Anulando f''(x)=0 x=2 e
f(2)=\frac{2}{e^{2}}.
  • Para x<2, x-2<0 f''(x)<0 ⇒ concavidade para baixo.
  • Para x>2, x-2>0 f''(x)>0 ⇒ concavidade para cima.
    Portanto x=2 é ponto de inflexão em \bigl(2,2/e^{2}\bigr).

Passo 7

Assíntotas:
  • Limite em +\infty:
\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{e^{x}} = 0,
logo assíntota horizontal y=0 do lado direito.
  • Limite em -\infty:
\lim_{x\to -\infty} \frac{x}{e^{x}} = -\infty,
não há assíntota horizontal nem oblíqua nessa direção.
  • Não existem valores de x que anulam o denominador, então não há assíntota vertical.

Passo 8

Esboço do gráfico:
  • Passa por (0,0).
  • Cresce até (1,1/e), seu máximo global.
  • Decrece, muda de concavidade em \bigl(2,2/e^{2}\bigr) e se aproxima de y=0 por cima quando x\to+\infty.
  • Para x\to-\infty decai indefinidamente para -\infty.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Interseção com eixos: (0,0)
Ponto crítico: x=1, f(1)=1/e
Cresce em (-\infty,1), decresce em (1,+\infty)
Máximo local e global em \bigl(1,1/e\bigr)
Concavidade para baixo em (-\infty,2), para cima em (2,+\infty)
Ponto de inflexão em \bigl(2,2/e^{2}\bigr)
Assíntota horizontal: y=0 (quando x\to+\infty)
Sem assíntotas verticais ou oblíquas.

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