Em cada item a seguir, encontre a solução geral da EDO e, caso seja possível, determine um intervalo em que ela exista.
y^prime-cotg(x) y=2 x sen(x)

Passo 1

A equação é uma EDO linear de 1ª ordem do tipo y′+P(x)y=Q(x), com P(x)=−cotg(x) e Q(x)=2x sen(x). Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Para uma EDO linear, o fator integrante é μ(x)=exp(∫P(x)dx). Aqui temos P(x)=−cotg(x), logo:

Passo 3

Multiplicamos a equação original por μ(x)=1/sen(x):
1sin(x)y' - cos(x)sin^2(x)y = 2x
O lado esquerdo é exatamente a derivada de y/sen(x), ou seja,
ddxl(ysin(x)r)=2x

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
ysin(x)=integral 2x,dx = x^2 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Multiplicando por sen(x) para isolar y, obtemos
y=(x^2+C),sin(x)

Passo 6

Para que o fator integrante esteja bem definido usamos sin(x)≠0, então a solução existe em cada intervalo onde sin(x) não se anula, por exemplo (kπ,(k+1)π) para k∈ℤ.

Resposta

A solução geral é y=(x^2+C) sen(x), válida em cada intervalo do tipo (kπ,(k+1)π), k∈ℤ.

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