Em cada item a seguir, encontre a solução geral da EDO e, caso seja possível, determine um intervalo em que ela exista.
Passo 1
A equação é uma EDO linear de 1ª ordem do tipo y′+P(x)y=Q(x), com P(x)=−cotg(x) e Q(x)=2x sen(x). Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Para uma EDO linear, o fator integrante é μ(x)=exp(∫P(x)dx). Aqui temos P(x)=−cotg(x), logo:
Passo 3
Multiplicamos a equação original por μ(x)=1/sen(x):
O lado esquerdo é exatamente a derivada de y/sen(x), ou seja,
Passo 4
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
onde C é a constante de integração.
Passo 5
Multiplicando por sen(x) para isolar y, obtemos
Passo 6
Para que o fator integrante esteja bem definido usamos sin(x)≠0, então a solução existe em cada intervalo onde sin(x) não se anula, por exemplo (kπ,(k+1)π) para k∈ℤ.
Resposta
A solução geral é y=(x^2+C) sen(x), válida em cada intervalo do tipo (kπ,(k+1)π), k∈ℤ.