Calcule a integral
integral d xx^2 raiz1+x^2.
a. -raiz1+x^2x+C
b. xraiz1+x^2+C
c. raiz1+x^2+C
d. -raiz1+x^2x-arctg x+C

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral integral dxx^2 raiz1+x^2. Isso está dentro da matéria de cálculo integral, mais especificamente envolvendo técnicas de substituição para resolver integrais. Vamos precisar usar uma substituição inteligente para simplificar essa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos definir $ u = \frac{1}{x} $. Com isso, precisamos encontrar a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
u = 1x

Passo 3

Agora, vamos substituir $ u $ e $ dx $ na integral original:
u
Mas como $ u = \frac{1}{x} $, temos que $ x = \frac{1}{u} $. Vamos substituir isso na expressão:
dx
Assumindo que $ u > 0 $, simplificamos para:
integral dxx^2 raiz1+x^2 = integral -x^2 du x^2 raiz1+x^2 = -integral duraiz1+x^2

Passo 4

Substituindo de volta na integral:
-integral duraizu^2 + 1u = -integral u , duraizu^2 + 1
Essa integral agora está numa forma que podemos resolver facilmente.

Passo 5

A integral integral u , duraizu^2 + 1 é uma integral padrão. A antiderivada é:
raizu^2 + 1 + C
Então, temos:
-raizu^2 + 1 + C

Passo 6

Agora, vamos voltar para a variável original $ x $:
x
Portanto, substituindo de volta:
u = 1x Rightarrow raizu^2 + 1 = raiz1x^2 + 1 = raiz1 + x^2x

Resposta

a. -raiz1+x^2x + C

Exercícios relacionados