Em cada item a seguir, esboce o gráfico de
em função de
, determine os pontos críticos ( de equilíbrio) e classifique cada um como assintoticamente estável, instável ou semiestável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano ty.
;
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO autônoma
e pede: (i) esboçar o gráfico de
em função de
, (ii) achar pontos de equilíbrio, (iii) classificar cada um como assintoticamente estável, instável ou semiestável, (iv) desenhar a reta de fase e (v) esboçar soluções no plano
. Vamos usar teoria qualitativa de EDOs autônomas: zeros de
são equilíbrios, e o sinal de
em cada ponto dá a estabilidade.
Passo 2
Escrevemos explicitamente
Esse é um cubo ímpar com coeficiente líder negativo em
, portanto para
temos
e para
temos
. O gráfico cruza o eixo
em
,
e
, decresce para valores grandes de
, e sobe para valores muito negativos de
.
Passo 3
Os pontos críticos (equilíbrios) vêm de
Passo 4
Para classificar a estabilidade calculamos
Em
e em
temos
, logo são assintoticamente estáveis. Em
temos
, logo é instável. Não há ponto semiestável neste caso.
Passo 5
Reta de fase (eixo
com setas dadas pelo sinal de
):
- Para
: e (seta para cima, cresce em direção a ). - Para
: e (seta para baixo, decresce até ). - Para
: e (seta para cima, cresce até ). - Para
: e (seta para baixo, decresce até ).
Nas posições dee as setas apontam para dentro (estáveis), em as setas apontam para fora (instável).
Passo 6
Esboço de algumas soluções no plano
:
-
: decresce monotonamente e tende exponencialmente a quando . -
: cresce até . -
: decresce até . -
: cresce até . -
: soluções constantes.
Resposta
Pontos de equilíbrio:
Classificação:
e
são assintoticamente estáveis;
é instável.