Em cada item a seguir, esboce o gráfico de f(y) em função de y, determine os pontos críticos ( de equilíbrio) e classifique cada um como assintoticamente estável, instável ou semiestável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano ty.
\frac{d y}{d t}=y\left(1-y^{2}\right), \quad-\infty<y_{0}<\infty;

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO autônoma
\frac{dy}{dt}=f(y)=y\bigl(1-y^2\bigr),
e pede: (i) esboçar o gráfico de f(y) em função de y, (ii) achar pontos de equilíbrio, (iii) classificar cada um como assintoticamente estável, instável ou semiestável, (iv) desenhar a reta de fase e (v) esboçar soluções no plano t\!-\!y. Vamos usar teoria qualitativa de EDOs autônomas: zeros de f são equilíbrios, e o sinal de f' em cada ponto dá a estabilidade.

Passo 2

Escrevemos explicitamente
f(y)=y - y^3.
Esse é um cubo ímpar com coeficiente líder negativo em y^3, portanto para y\to+\infty temos f(y)\to -\infty e para y\to-\infty temos f(y)\to+\infty. O gráfico cruza o eixo y em -1, 0 e 1, decresce para valores grandes de y, e sobe para valores muito negativos de y.

Passo 3

Os pontos críticos (equilíbrios) vêm de
f(y)=y(1-y^2)=0 \quad\Longrightarrow\quad y^*=-1,\;0,\;1.

Passo 4

Para classificar a estabilidade calculamos
f'(y)=\frac{d}{dy}\bigl(y-y^3\bigr)=1-3y^2.
Em y^*=-1 e em y^*=1 temos f'=-2<0, logo são assintoticamente estáveis. Em y^*=0 temos f'(0)=1>0, logo é instável. Não há ponto semiestável neste caso.

Passo 5

Reta de fase (eixo y com setas dadas pelo sinal de f(y)):
  • Para y<-1: y<0 e 1-y^2<0 \Rightarrow f(y)>0 (seta para cima, y cresce em direção a -1).
  • Para -1<y<0: y<0 e 1-y^2>0 \Rightarrow f(y)<0 (seta para baixo, y decresce até -1).
  • Para 0<y<1: y>0 e 1-y^2>0 \Rightarrow f(y)>0 (seta para cima, y cresce até 1).
  • Para y>1: y>0 e 1-y^2<0 \Rightarrow f(y)<0 (seta para baixo, y decresce até 1).
    Nas posições de -1 e 1 as setas apontam para dentro (estáveis), em 0 as setas apontam para fora (instável).

Passo 6

Esboço de algumas soluções no plano t\!-\!y:
  • y_0>1: y(t) decresce monotonamente e tende exponencialmente a 1 quando t\to+\infty.
  • 0<y_0<1: y(t) cresce até 1.
  • -1<y_0<0: y(t) decresce até -1.
  • y_0<-1: y(t) cresce até -1.
  • y_0\in\{-1,0,1\}: soluções constantes.

Resposta

Pontos de equilíbrio:
y^*=-1,\;0,\;1.
Classificação:
-1 e 1 são assintoticamente estáveis;
0 é instável.

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