Resolva as equações de Bernoulli e Ricatti:
\frac{d y}{d x}=-\frac{4}{x^{2}}-\frac{1}{x} y+y^{2}, y_{1}(x)=\frac{2}{x}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Riccati
\frac{dy}{dx} \;=\; y^{2}\;-\;\frac{1}{x}\,y\;-\;\frac{4}{x^{2}}
e um particular
y_{1}(x)=\frac{2}{x}.
Como a forma geral de Riccati pode ser reduzida a uma equação linear quando se conhece uma solução particular, vamos usar a transformação
y(x)=y_{1}(x)+\frac{1}{u(x)}
para obter uma EDO linear em u.

Passo 2

Substituíndo y=\tfrac{2}{x}+\tfrac{1}{u} temos
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{2}{x}\Bigr) -\frac{1}{u^{2}}\frac{du}{dx} = -\frac{2}{x^{2}}-\frac{u'}{u^{2}}.
Por outro lado,
y^{2}-\frac{1}{x}y-\frac{4}{x^{2}} =\Bigl(\tfrac{2}{x}\Bigr)^{2}-\frac{1}{x}\,\frac{2}{x}-\frac{4}{x^{2}} +\frac{2\cdot\frac{2}{x}-\frac{1}{x}}{u} +\frac{1}{u^{2}} =-\frac{2}{x^{2}}+\frac{3}{x}\,\frac{1}{u}+\frac{1}{u^{2}}.
Igualando as duas expressões para \tfrac{dy}{dx} e cancelando -\tfrac{2}{x^{2}}, achamos
-\frac{u'}{u^{2}} =\frac{3}{x}\,\frac{1}{u}+\frac{1}{u^{2}} \;\Longrightarrow\; u' + \frac{3}{x}\,u = -1.

Passo 3

Agora resolvemos a equação linear
u' + \frac{3}{x}\,u = -1.
O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\!\int\frac{3}{x}dx\Bigr)=x^{3}.
Multiplicando por x^{3}, vem
\frac{d}{dx}(x^{3}u) = -\,x^{3} \quad\Longrightarrow\quad x^{3}u = -\int x^{3}dx = -\frac{x^{4}}{4} + C
e portanto
u(x) = -\frac{x}{4} + \frac{C}{x^{3}}.

Passo 4

Voltando à transformação y=\tfrac{2}{x}+\tfrac{1}{u}, obtemos
y(x) = \frac{2}{x} + \frac{1}{-\frac{x}{4} + \frac{C}{x^{3}}} = \frac{2}{x} + \frac{4x^{3}}{-x^{4}+4C} = \frac{2}{x} - \frac{4x^{3}}{x^{4}-4C}.
Renomeando K=-4C, a forma mais habitual da solução geral é
y(x)=\frac{2}{x}-\frac{4x^{3}}{x^{4}+K},
onde K é constante arbitrária.

Resposta

\boxed{y(x)=\frac{2}{x}-\frac{4x^{3}}{x^{4}+K},\quad K\in\mathbb{R}.}

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