Determine o intervalo de maior amplitude dentro do qual o problema de valor inicial proposto tem uma única solução (Não é necessário determinar tal solução)
(x-1) \cdot \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-3 x \cdot \frac{d y}{d x}+4 y=\sin x, y(-2)=2 e y^{\prime}(-2)=1

Passo 1

Temos o problema de valor inicial
(x-1)\,\frac{d^{2}y}{dx^{2}} \;-\;3x\,\frac{dy}{dx}\;+\;4y \;=\;\sin x, \quad y(-2)=2,\quad y'(-2)=1.
Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem. Para garantirmos existência e unicidade da solução, precisamos que, ao colocá-la na forma padrão
\;y''+p(x)y'+q(x)y=g(x),
as funções p(x), q(x) e g(x) sejam contínuas num intervalo contendo o ponto inicial x_{0}=-2.

Passo 2

Dividimos toda a equação por x-1 (coeficiente de y'') para obter a forma padrão:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} \;-\;\frac{3x}{x-1}\,\frac{dy}{dx} \;+\;\frac{4}{x-1}\,y \;=\;\frac{\sin x}{x-1}.

Passo 3

Daí identificamos
p(x)=-\frac{3x}{x-1},\quad q(x)=\frac{4}{x-1},\quad g(x)=\frac{\sin x}{x-1}.
Essas funções só falham em ser contínuas quando x-1=0, ou seja em x=1.

Passo 4

Como o ponto inicial é x_{0}=-2, o maior intervalo que contém -2 e que exclui o ponto singular x=1 é
(-\infty,1).
Nesse intervalo todas as p(x), q(x) e g(x) são contínuas, garantindo unicidade da solução.

Resposta

(-\infty,1)

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