Em cada item a seguir, esboce o gráfico de f(y) em função de y, determine os pontos críticos ( de equilíbrio) e classifique cada um como assintoticamente estável, instável ou semiestável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano ty.
\frac{d y}{d t}=y^{2}\left(y^{2}-1\right), \quad-\infty<y_{0}<\infty;

Passo 1

O enunciado pede para analisar a equação diferencial autônoma
\frac{dy}{dt} = f(y),\quad \text{onde}\quad f(y)=y^{2}(y^{2}-1),
e então:
– Esboçar o gráfico de f(y) em função de y.
– Encontrar os pontos críticos (equilíbrios), ou seja, as raízes de f(y)=0.
– Classificar cada equilíbrio como assintoticamente estável, instável ou semiestável.
– Desenhar a reta de fase (linha de setas indicando o sinal de f).
– Esboçar algumas soluções y(t) no plano t;–; y.
Para isso, precisamos:
  1. Determinar as raízes de f(y).
  2. Estudar o sinal de f(y) em cada intervalo entre as raízes.
  3. Usar a derivada f'(y) ou o diagrama de sinal para classificar a estabilidade.
  4. Desenhar a reta de fase e traçar soluções qualitativas.

Passo 2

Encontramos as raízes de f(y)=y^{2}(y^{2}-1) resolvendo
y^{2}(y^{2}-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad y=0\quad(\text{raiz dupla}),\quad y=1,\quad y=-1.
No gráfico de f(y) versus y:
– Em y=0, temos uma raiz de multiplicidade 2 (o gráfico toca o eixo tangencialmente).
– Em y=\pm1, cruzamentos simples com o eixo.

Passo 3

Estudamos o sinal de f(y) em cada intervalo:
Intervalos e sinal de y^{2}-1:
  • Para \lvert y\rvert>1 \Rightarrow y^{2}-1>0, e y^{2}>0, logo f(y)>0.
  • Para -1<y<1 \Rightarrow y^{2}-1<0, mas y^{2}>0 (exceto em zero), logo f(y)<0 para y\neq0.
Tabela de sinais: \,y< -1:\;f>0\quad -1<y<0:\;f<0\quad 0<y<1:\;f<0\quad y>1:\;f>0.
Classificação dos equilíbrios:
  1. Em y=-1:
    – À esquerda y<-1, f>0 \Rightarrow seta para a direita (acima de -1 leva de volta a -1).
    – À direita -1<y, f<0 \Rightarrow seta para a esquerda (abaixo de -1 leva de volta a -1).
    → Setas convergem em -1: estável.
  2. Em y=0 (raiz dupla):
    – Para y>0 pequeno, f<0 \Rightarrow seta para a esquerda (movendo-se em direção a 0).
    – Para y<0 pequeno, f<0 \Rightarrow seta para a esquerda (afasta-se de 0 em direção a -1).
    → De um lado chega, do outro sai: semiestável.
  3. Em y=1:
    – Para y<1 pouco, f<0 \Rightarrow seta para a esquerda (afasta-se de 1).
    – Para y>1 pouco, f>0 \Rightarrow seta para a direita (afasta-se de 1).
    → Setas divergem de 1: instável.

Passo 4

Reta de fase (linha vertical em y) com setas: \,y>1 : \rightarrow\quad y=1 : ponto instável 0<y<1 : \leftarrow\quad y=0 : ponto semiestável -1<y<0 : \leftarrow\quad y=-1 : ponto estável \,y<-1 : \rightarrow

Passo 5

Esboço de soluções y(t) em função de t:
  • Se y(0)>1, cresce cada vez mais y\to+\infty.
  • Se 0<y(0)<1, decresce até y\to0 quando t\to+\infty.
  • Se -1<y(0)<0, decresce até y\to-1.
  • Se y(0)<-1, cresce (movendo-se para a direita na reta de fase) e tende a -1 conforme t\to+\infty.

Resposta

Pontos de equilíbrio: \;y=-1 (estável), \;y=0 (semiestável), \;y=1 (instável).

Exercícios relacionados