1. A equação diferencial da forma y=x y^{\prime}+f\left(y^{\prime}\right) é conhecida como Equação de Clairaut.
    (a) Mostre que uma solução para a Equação de Clairaut é da forma y=c x+f\text{(c)}, em que c é uma constante arbitrária.
    (b) Resolva a EDO y=x y^{\prime}+\frac{1}{2} \cdot\left(y^{\prime}\right)^{2}.

Passo 1

O enunciado trata da Equação de Clairaut, de forma
y = x\,y' + f\bigl(y'\bigr),
e pede:
– (a) mostrar que uma família de soluções gerais é
y = c\,x + f\text{(c)},
com c constante;
– (b) aplicar esse resultado à EDO
y = x\,y' + \tfrac12\,(y')^2.
Vamos usar a troca p=y', diferenciar em x e examinar os casos gerados.

Passo 2

Defina
p = \frac{dy}{dx}.
Então a equação fica
y = x\,p + f(p).
Diferenciando ambos os lados em relação a x, usando regra do produto e regra da cadeia, obtemos
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\bigl(x\,p\bigr) + f'(p)\,\frac{dp}{dx} \quad\Longrightarrow\quad p = p + \bigl(x + f'(p)\bigr)\,\frac{dp}{dx}.
Cancelando p de ambos os lados resulta
\bigl(x + f'(p)\bigr)\,\frac{dp}{dx} = 0.

Passo 3

Da equação \bigl(x + f'(p)\bigr)\,dp/dx=0 surgem dois casos:
  1. \displaystyle \frac{dp}{dx}=0, isto é, p=c constante. Substituindo em y = x\,p + f(p) vem
y = c\,x + f\text{(c)},
que é a solução geral da Clairaut.
2. x + f'(p)=0, que dá a solução singular (envelope da família).
Até aqui mostramos a parte (a): toda solução geral de Clairaut é y = c\,x + f\text{(c)}.

Passo 4

Agora em y = x\,y' + \tfrac12\,(y')^2 temos f(p)=\tfrac12\,p^2, logo
f'(p)=p.
A condição \bigl(x + f'(p)\bigr)\,dp/dx=0 vira
(x + p)\,\frac{dp}{dx}=0.
– Caso \displaystyle \frac{dp}{dx}=0: p=c. Então
y = c\,x + \tfrac12\,c^2
é a solução geral.
– Caso x + p=0: p=-x. Substituindo em y = x\,p + \tfrac12\,p^2
y = x(-x) + \tfrac12\,(-x)^2 = -x^2 + \tfrac12\,x^2 = -\tfrac12\,x^2,
que é a solução singular.

Resposta

(a) A família geral de soluções da Equação de Clairaut é
y = c\,x + f\text{(c)}.
(b) Para y = x\,y' + \tfrac12\,(y')^2:
– solução geral: \displaystyle y = c\,x + \tfrac12\,c^2;
– solução singular: \displaystyle y = -\tfrac12\,x^2.

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