Resolva as EDOs e PVI’s lineares de primeira ordem:
t \cdot \frac{d y}{d x}+2 y(x)=4 x^{2}, y(1)=2, x>0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
x\frac{dy}{dx}+2y(x)=4x^2,
com condição inicial y(1)=2 para x>0. Vamos resolver esse PVI usando o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a EDO no formato padrão
\frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x).
Dividindo por x (que é não nulo em x>0), obtemos
\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}\,y = 4x.

Passo 3

O fator integrante \mu(x) satisfaz
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr) = \exp\!\Bigl(\int \frac{2}{x}\,dx\Bigr) = \exp\bigl(2\ln x\bigr) = x^2.

Passo 4

Multiplicamos toda a EDO por \mu(x)=x^2, obtendo
x^2\frac{dy}{dx} + 2x\,y = 4x^3.
O lado esquerdo é agora a derivada do produto x^2y, isto é,
\frac{d}{dx}\bigl(x^2y\bigr) = 4x^3.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^2y = \int 4x^3\,dx = x^4 + C,
onde C é constante de integração. Assim, a solução geral é
y(x) = x^2 + C\,x^{-2}.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(1)=2:
2 = 1^2 + C\cdot1^{-2} \quad\Longrightarrow\quad C = 1.

Resposta

A solução do PVI é
y(x) = x^2 + x^{-2}.

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