Para cada item a seguir, esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área englobada.
a) y=x^{2}-3 x-4 e \mathrm{y}=0 (o eixo x )

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela parábola y = x^{2} - 3x - 4 e pela reta y = 0 (eixo x). O conteúdo aqui é cálculo de área pela integral definida: primeiro achamos as interseções, esboçamos grosso modo a região e depois montamos a integral de (função de cima) – (função de baixo).

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção entre y = x^{2} - 3x - 4 e y = 0, resolvemos
x^{2} - 3x - 4 = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2},
logo as raízes são x = -1 e x = 4. Como a parábola abre para cima, ela fica abaixo do eixo x entre -1 e 4, formando aí a região buscada.

Passo 3

A área A dessa região é dada por
A = \int_{-1}^{4} \bigl(\underbrace{0}_{\text{topo}} - \underbrace{(x^{2} - 3x - 4)}_{\text{base}}\bigr)\,dx = \int_{-1}^{4} \bigl(-x^{2} + 3x + 4\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculamos uma primitiva de -x^{2} + 3x + 4:
F(x) = \int \bigl(-x^{2} + 3x + 4\bigr)\,dx = -\frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2}\,x^{2} + 4x.
Agora avaliamos nos limites:
F(4) = -\frac{4^{3}}{3} + \frac{3}{2}\cdot 4^{2} + 4\cdot 4 = -\frac{64}{3} + 24 + 16 = \frac{56}{3},
F(-1) = -\frac{(-1)^{3}}{3} + \frac{3}{2}\cdot (-1)^{2} + 4\cdot(-1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 4 = -\frac{13}{6}.

Passo 5

Subtraindo,
A = F(4) - F(-1) = \frac{56}{3} - \bigl(-\tfrac{13}{6}\bigr) = \frac{56}{3} + \frac{13}{6} = \frac{112 + 13}{6} = \frac{125}{6}.

Resposta

A área da região é \displaystyle \frac{125}{6}.

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