Utilize a técnica das frações parciais para calcular as integrais a seguir:
e) \int \frac{3 x-2}{2 x^{2}-3 x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{3x - 2}{2x^{2} - 3x + 1}\,dx
usando a técnica de frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador, decompor em parcelas simples e depois integrar cada parcela.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
2x^{2}-3x+1 = (2x-1)(x-1).
Então propomos a decomposição
\frac{3x - 2}{(2x-1)(x-1)} = \frac{A}{2x-1} + \frac{B}{x-1}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (2x-1)(x-1), obtemos
3x - 2 = A(x-1) + B(2x-1).
Expansão e agrupamento em potências de x
A(x-1) + B(2x-1) = (A + 2B)\,x + (-A - B).
Comparando com 3x - 2, igualamos os coeficientes:
A + 2B = 3, \quad -\,A - B = -2.

Passo 4

Da segunda equação vem A + B = 2. Subtraindo essa de A + 2B = 3 resulta em B = 1. Então A = 2 - B = 1. Portanto
\frac{3x - 2}{2x^{2}-3x+1} = \frac{1}{2x-1} + \frac{1}{x-1}.

Passo 5

Integramos cada termo separadamente:
\int \frac{1}{2x-1}\,dx \quad\longrightarrow\quad u = 2x-1,\;du = 2\,dx \;\Rightarrow\; \frac{1}{2}\ln\bigl|2x-1\bigr|,
\int \frac{1}{x-1}\,dx = \ln\bigl|x-1\bigr|.
Somando e adicionando a constante C, concluímos
\int \frac{3x - 2}{2x^{2}-3x+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\bigl|2x-1\bigr| + \ln\bigl|x-1\bigr| + C.

Resposta

\int \frac{3x - 2}{2x^{2}-3x+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\bigl|2x-1\bigr| + \ln\bigl|x-1\bigr| + C.

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