Para cada item a seguir, esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área englobada.
d) y=x+1 e y=x^{2}-x-2

Passo 1

O enunciado pede a região limitada pelas curvas
y = x + 1
e
y = x^{2} - x - 2
e o cálculo da área dessa região. O conteúdo aqui é “área entre duas curvas”: primeiro achamos os pontos de interseção, depois identificamos a curva superior e a inferior e, por fim, integramos a diferença entre elas no intervalo que delimita a região.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção resolvendo
x + 1 = x^{2} - x - 2
x^{2} - 2x - 3 = 0
(x - 3)(x + 1) = 0
Logo os pontos de interseção são x = -1 e x = 3.

Passo 3

Determinar qual curva é superior no intervalo [-1,3]. Para, por exemplo, x=0, temos
\text{reta: }y(0)=0+1=1,\quad \text{parábola: }y(0)=0^{2}-0-2=-2,á
logo a reta y=x+1 fica acima da parábola y=x^{2}-x-2. A área pedida é
A = \int_{x=-1}^{3}\bigl[(x+1)-\bigl(x^{2}-x-2\bigr)\bigr]\,dx
A = \int_{-1}^{3}\bigl(-x^{2}+2x+3\bigr)\,dx

Passo 4

Calcular a integral. Uma primitiva de -x^{2}+2x+3 é
F(x) = -\tfrac{1}{3}x^{3} + x^{2} + 3x.

Passo 5

Avaliar de -1 a 3:
F(3) = -\tfrac{1}{3}\cdot27 + 9 + 9 = -9 + 18 = 9,
F(-1) = -\tfrac{1}{3}(-1) + 1 + (-3) = \tfrac{1}{3} - 2 = -\tfrac{5}{3},
A = F(3) - F(-1) = 9 - \bigl(-\tfrac{5}{3}\bigr) = 9 + \tfrac{5}{3} = \tfrac{27}{3} + \tfrac{5}{3} = \tfrac{32}{3}.

Resposta

A = \tfrac{32}{3}

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