Para cada item a seguir, esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área englobada.
f) y=x^{2}-4 x+2 e y=-x^{2}+2 x+2

Passo 1

O enunciado pede a região limitada pelas curvas
y = x^{2} - 4x + 2
e
y = -x^{2} + 2x + 2
e o cálculo da área dessa região. O conteúdo é encontrar os pontos de interseção das parábolas, identificar qual está acima, e integrar a diferença vertical entre elas.

Passo 2

Para achar as interseções, igualamos
x^{2} - 4x + 2 = -x^{2} + 2x + 2
Transferindo tudo para um lado:
x^{2} + x^{2} - 4x - 2x + 2 - 2 = 0
2x^{2} - 6x = 0
2x(x - 3) = 0
Logo, x = 0 ou x = 3. Substituindo em qualquer das curvas dá y(0)=2 e y(3)=-1.

Passo 3

Agora vemos qual parábola está por cima para 0 \le x \le 3. Definimos
\Delta(x) = \bigl(-x^{2} + 2x + 2\bigr) - \bigl(x^{2} - 4x + 2\bigr)
\Delta(x) = -2x^{2} + 6x = -2x(x - 3).
Em 0<x<3, \Delta(x)>0, então
\text{curva superior: }y = -x^{2} + 2x + 2, \quad \text{curva inferior: }y = x^{2} - 4x + 2.

Passo 4

A área procurada é
A = \int_{x=0}^{3} \Bigl[(-x^{2} + 2x + 2) - (x^{2} - 4x + 2)\Bigr]\,dx = \int_{0}^{3} \bigl(-2x^{2} + 6x\bigr)\,dx.
Calculando a primitiva:
\int \bigl(-2x^{2} + 6x\bigr)\,dx = -\tfrac{2}{3}x^{3} + 3x^{2}
e avaliando de 0 a 3:
\Bigl(-\tfrac{2}{3}\cdot 3^{3} + 3\cdot 3^{2}\Bigr) - \bigl(0\bigr) = \bigl(-\tfrac{2}{3}\cdot27 + 3\cdot9\bigr) = (-18 + 27) = 9.

Resposta

A área da região delimitada pelas duas parábolas é 9.

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