Em cada item a seguir, escolha um intervalo aberto I apropriado e verifique que a função dada é uma solução da EDO em I.
y^prime prime prime=6, Phi(x)=x^3+a x^2+b x+c

Passo 1

O enunciado pede para escolher um intervalo aberto I e verificar que a função Phi(x)=x^3+ax^2+bx+c é solução da EDO y'''=6. O conteúdo envolve derivar um polinômio três vezes e comparar com o termo dado pela EDO.

Passo 2

Podemos escolher como intervalo aberto qualquer conjunto onde o polinômio esteja definido. Uma escolha natural é I=R, pois Phi e todas as suas derivadas existem em todo o eixo real.

Passo 3

Calculamos a primeira derivada de Phi(x):
Phi'(x)=3x^2+2ax+b
Em seguida, a segunda derivada fica:
Phi''(x)=6x+2a
Finalmente, a terceira derivada é:
Phi'''(x)=6

Passo 4

Como em todo xin I temos Phi'''(x)=6, isso coincide exatamente com a EDO dada, mostrando que Phi é solução em I.

Resposta

Um intervalo adequado é I=R. Em todo esse intervalo vale Phi'''(x)=6, logo Phi(x)=x^3+ax^2+bx+c satisfaz a EDO.

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