Calcule as seguintes integrais indefinidas pelo método da substituição de variável.
integral 12^x+3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida usando o método da substituição de variável. O problema é calcular:
integral 12^x + 3 , dx
Vamos precisar conhecer um pouco sobre substituição em integrais e frações parciais para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = 2^x + 3
Essa substituição ajuda a tornar a integral mais manejável.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de $ u $ em relação a $ x $ para substituir $ dx $. Então:
u
Isso significa que:
x

Passo 4

Vamos substituir $ u $ e $ dx $ na integral original:
u
Agora, vamos resolver essa integral usando frações parciais. Queremos expressar:
dx
Resolvendo para $ A $ e $ B $, encontramos $ A = \frac{1}{3} $ e $ B = -\frac{1}{3} $. Então:
integral 1u cdot du(u - 3) ln 2 = 1ln 2 integral 1u(u - 3) , du

Passo 5

Agora, substituímos $ u $ de volta na expressão:
u

Resposta

A integral indefinida é:
13 ln 2 ln ( 2^x + 32^x ) + C

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