Em cada item a seguir, escolha um intervalo aberto I apropriado e verifique que a função dada é uma solução da EDO em I.
y^prime prime=y, Phi(x)=c1 e^x+c2 e^-x

Passo 1

O enunciado pede para acharmos um intervalo aberto adequado I e mostrarmos que a função Phi(x)=c1e^x+c2e^-x satisfaz a EDO y''=y em I. O conteúdo é resolução de EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Como e^x e e^-x estão bem definidas para todo xinR, podemos escolher o intervalo aberto
$$
I=(-\infty,\infty)$$

Passo 3

Para verificar a EDO, calculamos derivadas de Phi:
Phi'(x)=c1e^x-c2e^-x,
Phi''(x)=c1e^x+c2e^-x=Phi(x)
Como Phi''(x)=Phi(x) em todo I, a função é solução da EDO nesse intervalo.

Resposta

Um intervalo apropriado é I=(-infty,infty), e verifica-se que Phi''(x)=Phi(x), logo Phi é solução da EDO em I.

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