Para cada item a seguir, faça o que se pede.
Determine os pontos em que f é contínua.
Calcule as derivadas parciais de f. f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}\frac{x^{2} \operatorname{sen}\left(\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}, \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.
Para (x,y)\neq(0,0) vale x^{2}+y^{2}>0, então a expressão dada é bem definida.
Para verificar continuidade no ponto (0,0) preciso calcular \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) e ver se é igual a f(0,0)=0.
Para as derivadas parciais no ponto (0,0) devo usar a definição por limite:\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}.]
Passo 2
Continuidade para (x,y)\neq(0,0).
Razão didática: uma função formada por somas, produtos, quocientes (quando o denominador é não nulo) e composição de funções contínuas é contínua onde a expressão está bem definida.
são contínuas (denominador x^{2}+y^{2}\neq0). O produto dessas duas é contínuo. Portanto f é contínua em todo ponto (x,y)\neq(0,0).
Passo 3
Continuidade no ponto (0,0).
Estratégia didática: usar coordenadas polares para entender o comportamento radial e angular ao aproximar a origem. Defina r\ge0 e \theta tais que x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Então
Para x=0 temos f(0,y)=0 (pois o numerador contém x^{2}), então \dfrac{f(0,h)-0}{h}=0 para todo h\neq0, e o limite é 0. Assim \partial f/\partial y(0,0)=0.
Resposta
f\) é contínua em todo \(\mathbb{R}^{2}\).\n
\(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\begin{cases}
\dfrac{2x\,y^{2}\,\sin\bigl((x^{2}+y^{2})^{2}\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}+4x^{3}\cos\bigl((x^{2}+y^{2})^{2}\bigr), & (x,y)\neq(0,0),\\[8pt]
0, & (x,y)=(0,0),
\end{cases}\n