Para cada item a seguir, faça o que se pede.
Determine os pontos em que f é contínua.
Calcule as derivadas parciais de f.
f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}\frac{x^{2} \operatorname{sen}\left(\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}, \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^{2}\,\sin\bigl((x^{2}+y^{2})^{2}\bigr)}{x^{2}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}
Pede-se:
  • determinar os pontos em que f é contínua;
  • calcular as derivadas parciais de f.
Informações relevantes que vou usar:
  • Para (x,y)\neq(0,0) vale x^{2}+y^{2}>0, então a expressão dada é bem definida.
  • Para verificar continuidade no ponto (0,0) preciso calcular \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) e ver se é igual a f(0,0)=0.
  • Para as derivadas parciais no ponto (0,0) devo usar a definição por limite: \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}.]

Passo 2

Continuidade para (x,y)\neq(0,0).
Razão didática: uma função formada por somas, produtos, quocientes (quando o denominador é não nulo) e composição de funções contínuas é contínua onde a expressão está bem definida.
Aplicando isso: para (x,y)\neq(0,0) a função
(x,y)\mapsto \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\quad\text{e}\quad (x,y)\mapsto \sin\bigl((x^{2}+y^{2})^{2}\bigr)
são contínuas (denominador x^{2}+y^{2}\neq0). O produto dessas duas é contínuo. Portanto f é contínua em todo ponto (x,y)\neq(0,0).

Passo 3

Continuidade no ponto (0,0).
Estratégia didática: usar coordenadas polares para entender o comportamento radial e angular ao aproximar a origem. Defina r\ge0 e \theta tais que x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Então
x^{2}+y^{2}=r^{2},\qquad (x^{2}+y^{2})^{2}=r^{4},
e para (x,y)\neq(0,0)
f(x,y)=\frac{x^{2}\sin\bigl((x^{2}+y^{2})^{2}\bigr)}{x^{2}+y^{2}} =\frac{r^{2}\cos^{2}\theta\;\sin(r^{4})}{r^{2}} =\cos^{2}\theta\;\sin(r^{4}).
Agora, ao fazer r\to0^{+} (ou seja, (x,y)\to(0,0)), temos \sin(r^{4})\to0. Como \cos^{2}\theta está entre 0 e 1 e não depende de r, segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=\lim_{r\to0}\cos^{2}\theta\;\sin(r^{4})=0.
Esse limite é 0, igual a f(0,0). Conclusão: f é contínua também em (0,0). Portanto f é contínua em todo \mathbb{R}^{2}.
Observação amiga: usar polar aqui simplifica muito — a dependência em r aparece isolada em \sin(r^{4}), o que força o valor a zero quando r\to0.

Passo 4

Derivadas parciais para (x,y)\neq(0,0).
Vou escrever S:=x^{2}+y^{2} para simplificar a notação. Para (x,y)\neq(0,0) podemos escrever
f(x,y)=\frac{x^{2}}{S}\,\sin(S^{2}).
Usei a regra do produto: f=g\cdot h com g(x,y)=x^{2}/S e h(x,y)=\sin(S^{2}). A derivada parcial \partial f/\partial x é
\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{\partial g}{\partial x}\,h + g\,\frac{\partial h}{\partial x}.
Calculemos \partial g/\partial x passo a passo (regra do quociente ou produto):
g(x,y)=x^{2}S^{-1}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial x}=2x S^{-1} + x^{2}\cdot(-1)S^{-2}\cdot 2x = \frac{2xS-2x^{3}}{S^{2}}=\frac{2x\,y^{2}}{S^{2}},
pois S-x^{2}=y^{2}.
Agora \partial h/\partial x usando a regra da cadeia:
h(x,y)=\sin(S^{2})\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial h}{\partial x}=\cos(S^{2})\cdot 2S\cdot\frac{\partial S}{\partial x} =\cos(S^{2})\cdot 2S\cdot 2x=4xS\cos(S^{2}).
Substituindo em \partial f/\partial x:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2x\,y^{2}}{S^{2}}\;\sin(S^{2}) \;+\; \frac{x^{2}}{S}\cdot 4xS\cos(S^{2}) = \frac{2x\,y^{2}\,\sin(S^{2})}{S^{2}} \;+\; 4x^{3}\cos(S^{2}).
De modo semelhante, para \partial f/\partial y usamos \partial g/\partial y e \partial h/\partial y.
Calcule \partial g/\partial y:
\frac{\partial g}{\partial y}=x^{2}\cdot(-1)S^{-2}\cdot 2y = -\frac{2x^{2}y}{S^{2}}.
Calcule \partial h/\partial y:
\frac{\partial h}{\partial y}=\cos(S^{2})\cdot 2S\cdot\frac{\partial S}{\partial y} =\cos(S^{2})\cdot 2S\cdot 2y = 4yS\cos(S^{2}).
Assim
\frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{2x^{2}y}{S^{2}}\;\sin(S^{2}) \;+\; \frac{x^{2}}{S}\cdot 4yS\cos(S^{2}) = -\frac{2x^{2}y\,\sin(S^{2})}{S^{2}} \;+\; 4x^{2}y\cos(S^{2}).
Resumo (para (x,y)\neq(0,0)):
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{2x\,y^{2}\,\sin\bigl((x^{2}+y^{2})^{2}\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{2}} +4x^{3}\cos\bigl((x^{2}+y^{2})^{2}\bigr),
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = -\frac{2x^{2}y\,\sin\bigl((x^{2}+y^{2})^{2}\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{2}} +4x^{2}y\cos\bigl((x^{2}+y^{2})^{2}\bigr).

Passo 5

Derivadas parciais no ponto (0,0) (definição por limites).
Calcule \partial f/\partial x(0,0):
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}.
Para y=0 e x\neq0 temos S=x^{2} e
f(x,0)=\frac{x^{2}\sin\bigl((x^{2})^{2}\bigr)}{x^{2}}=\sin(x^{4}).
Logo
\frac{f(h,0)-0}{h}=\frac{\sin(h^{4})}{h}.
Usando a desigualdade |\sin t|\le|t| com t=h^{4} obtemos
\left|\frac{\sin(h^{4})}{h}\right|\le\frac{|h|^{4}}{|h|}=|h|^{3}\to0\quad\text{quando }h\to0.
Portanto \partial f/\partial x(0,0)=0.
Calcule \partial f/\partial y(0,0):
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}.
Para x=0 temos f(0,y)=0 (pois o numerador contém x^{2}), então \dfrac{f(0,h)-0}{h}=0 para todo h\neq0, e o limite é 0. Assim \partial f/\partial y(0,0)=0.

Resposta

f\) é contínua em todo \(\mathbb{R}^{2}\).\n \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\begin{cases} \dfrac{2x\,y^{2}\,\sin\bigl((x^{2}+y^{2})^{2}\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}+4x^{3}\cos\bigl((x^{2}+y^{2})^{2}\bigr), & (x,y)\neq(0,0),\\[8pt] 0, & (x,y)=(0,0), \end{cases}\n
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\begin{cases} -\dfrac{2x^{2}y\,\sin\bigl((x^{2}+y^{2})^{2}\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}+4x^{2}y\cos\bigl((x^{2}+y^{2})^{2}\bigr), & (x,y)\neq(0,0),\\[8pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}]

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