Para cada item a seguir, faça o que se pede.
Determine os pontos em que f é contínua.
Calcule as derivadas parciais de f. f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}, \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas, e dá a função por partes:
Para todo ponto (x,y)\] diferente de \((0,0) a fórmula explícita \dfrac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} vale.
No ponto (0,0) o valor da função é 0.
É preciso estudar continuidade ponto a ponto e depois as derivadas parciais (tanto para (x,y)\neq(0,0) quanto para (0,0)).]
Passo 2
Continuidade em pontos (x,y)\neq(0,0).
Ideia: mostrar que a expressão \dfrac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} é uma combinação de funções elementares contínuas em qualquer ponto com x^{2}+y^{2}>0, logo contínua nesses pontos.
Explicando devagar: as funções x\mapsto x, y\mapsto y, (x,y)\mapsto x^2+y^2 e (x,y)\mapsto \sqrt{x^2+y^2} são contínuas em todo \mathbb{R}^2 (onde a raiz está bem definida). A operação de multiplicação e a divisão por uma quantidade não nula preservam continuidade. Para (x,y)\neq(0,0) temos x^2+y^2>0, portanto \sqrt{x^2+y^2}\neq0 e a função
(x,y)\mapsto \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}
é contínua em cada ponto com (x,y)\neq(0,0).
Conclusão parcial: f é contínua em todo ponto (x,y) com (x,y)\neq(0,0).
Para isso vamos estimar o valor absoluto da fração por uma expressão que tenda a zero com a distância ao origem.
Observação útil (desigualdade): para quaisquer reais x,y vale
x^2+y^2 \ge 2|xy|.
Justificativa rápida: se xy\ge0 então (x-y)^2\ge0 dá x^2+y^2\ge 2xy=2|xy|; se xy<0 então (x+y)^2\ge0 dá x^2+y^2\ge -2xy=2|xy|. Assim sempre 2|xy|\le x^2+y^2, ou seja
|xy| \le \frac{x^2+y^2}{2}.
Agora use essa desigualdade para dominar |f(x,y)|:
Derivadas parciais no ponto (0,0) pelo limite definicional.
Definição: \displaystyle \partial_x f(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} e similar para \partial_y.
Calcule para \partial_x:
f(h,0)=\frac{h\cdot 0}{\sqrt{h^2+0^2}}=0,
portanto
\partial_x f(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0.
Calcule para \partial_y:
f(0,h)=\frac{0\cdot h}{\sqrt{0^2+h^2}}=0,
portanto
\partial_y f(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0.
Assim as derivadas parciais no origin são nulas.
Passo 8
Resumo final e comentário breve.
Em todos os pontos (x,y)\neq(0,0) as derivadas parciais estão dadas pelas fórmulas encontradas nos Passos 5 e 6.
No ponto (0,0) as duas derivadas parciais existem e valem 0 (Passo 7).
Força aí — deu trabalho, mas com a desigualdade simples e a regra do produto a conta fica limpa. Se quiser, a gente pode verificar depois se f é ou não diferenciável em (0,0) (isso é outra história).