Para cada item a seguir, faça o que se pede.
Determine os pontos em que f é contínua.
Calcule as derivadas parciais de f.
f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}, \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas, e dá a função por partes:
  • Determinar os pontos em que [f) é contínua.
  • Calcular as derivadas parciais de f.
A função é
f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle \frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Para todo ponto (x,y)\] diferente de \((0,0) a fórmula explícita \dfrac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} vale.
  • No ponto (0,0) o valor da função é 0.
  • É preciso estudar continuidade ponto a ponto e depois as derivadas parciais (tanto para (x,y)\neq(0,0) quanto para (0,0)).]

Passo 2

Continuidade em pontos (x,y)\neq(0,0).
Ideia: mostrar que a expressão \dfrac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} é uma combinação de funções elementares contínuas em qualquer ponto com x^{2}+y^{2}>0, logo contínua nesses pontos.
Explicando devagar: as funções x\mapsto x, y\mapsto y, (x,y)\mapsto x^2+y^2 e (x,y)\mapsto \sqrt{x^2+y^2} são contínuas em todo \mathbb{R}^2 (onde a raiz está bem definida). A operação de multiplicação e a divisão por uma quantidade não nula preservam continuidade. Para (x,y)\neq(0,0) temos x^2+y^2>0, portanto \sqrt{x^2+y^2}\neq0 e a função
(x,y)\mapsto \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}
é contínua em cada ponto com (x,y)\neq(0,0).
Conclusão parcial: f é contínua em todo ponto (x,y) com (x,y)\neq(0,0).

Passo 3

Continuidade no ponto (0,0).
Precisamos verificar se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} = f(0,0)=0.
Para isso vamos estimar o valor absoluto da fração por uma expressão que tenda a zero com a distância ao origem.
Observação útil (desigualdade): para quaisquer reais x,y vale
x^2+y^2 \ge 2|xy|.
Justificativa rápida: se xy\ge0 então (x-y)^2\ge0 x^2+y^2\ge 2xy=2|xy|; se xy<0 então (x+y)^2\ge0 x^2+y^2\ge -2xy=2|xy|. Assim sempre 2|xy|\le x^2+y^2, ou seja
|xy| \le \frac{x^2+y^2}{2}.
Agora use essa desigualdade para dominar |f(x,y)|:
\left|\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\right| = \frac{|xy|}{\sqrt{x^2+y^2}} \le \frac{(x^2+y^2)/2}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2}.
Note que \sqrt{x^2+y^2} é exatamente a distância do ponto (x,y) à origem; chamando r=\sqrt{x^2+y^2} temos |f(x,y)|\le \tfrac{1}{2}r.
Conclui-se que, quando (x,y)\to(0,0), r\to0 e portanto |f(x,y)|\le \tfrac{1}{2}r\to0. Assim
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0.
Logo f é contínua também no ponto (0,0).

Passo 4

Conclusão sobre continuidade.
Juntando Passos 2 e 3, f é contínua em todo \mathbb{R}^2 (em todos os pontos (x,y), incluindo (0,0)).

Passo 5

Cálculo das derivadas parciais em pontos (x,y)\neq(0,0).
Vamos calcular \partial_x f e \partial_y f usando regras usuais (produto e regra da cadeia). Para facilitar escrevemos
f(x,y)=xy\,(x^2+y^2)^{-1/2}.
Derivada parcial em relação a x (mantendo y fixo). Aplicamos a regra do produto: se u(x,y)=xy e v(x,y)=(x^2+y^2)^{-1/2}, então
\partial_x f = (\partial_x u)\,v + u\,(\partial_x v).
Calculamos termo a termo:
\partial_x u = y, \qquad \partial_x v = -\tfrac{1}{2}(x^2+y^2)^{-3/2}\cdot 2x = -\frac{x}{(x^2+y^2)^{3/2}}.
Portanto
\partial_x f = y\,(x^2+y^2)^{-1/2} + xy\left(-\frac{x}{(x^2+y^2)^{3/2}}\right).
Colocando em denominador comum (x^2+y^2)^{3/2} e simplificando:
\partial_x f = \frac{y(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^{3/2}} - \frac{x^2y}{(x^2+y^2)^{3/2}} = \frac{y\bigl(x^2+y^2 - x^2\bigr)}{(x^2+y^2)^{3/2}} = \frac{y^3}{(x^2+y^2)^{3/2}}.
Portanto, para (x,y)\neq(0,0),
\boxed{\displaystyle \partial_x f(x,y)=\frac{y^3}{(x^2+y^2)^{3/2}}.}

Passo 6

Derivada parcial em relação a y para (x,y)\neq(0,0).
Pelo mesmo procedimento (agora u=xy e v=(x^2+y^2)^{-1/2} e diferenciando em y):
\partial_y u = x, \qquad \partial_y v = -\frac{y}{(x^2+y^2)^{3/2}}.
Logo
\partial_y f = x\,(x^2+y^2)^{-1/2} + xy\left(-\frac{y}{(x^2+y^2)^{3/2}}\right).
Com denom. comum e simplificação:
\partial_y f = \frac{x(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^{3/2}} - \frac{xy^2}{(x^2+y^2)^{3/2}} = \frac{x\bigl(x^2+y^2-y^2\bigr)}{(x^2+y^2)^{3/2}} = \frac{x^3}{(x^2+y^2)^{3/2}}.
Portanto, para (x,y)\neq(0,0),
\boxed{\displaystyle \partial_y f(x,y)=\frac{x^3}{(x^2+y^2)^{3/2}}.}

Passo 7

Derivadas parciais no ponto (0,0) pelo limite definicional.
Definição: \displaystyle \partial_x f(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} e similar para \partial_y.
Calcule para \partial_x:
f(h,0)=\frac{h\cdot 0}{\sqrt{h^2+0^2}}=0,
portanto
\partial_x f(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0.
Calcule para \partial_y:
f(0,h)=\frac{0\cdot h}{\sqrt{0^2+h^2}}=0,
portanto
\partial_y f(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0.
Assim as derivadas parciais no origin são nulas.

Passo 8

Resumo final e comentário breve.
  • Em todos os pontos (x,y)\neq(0,0) as derivadas parciais estão dadas pelas fórmulas encontradas nos Passos 5 e 6.
  • No ponto (0,0) as duas derivadas parciais existem e valem 0 (Passo 7).
Força aí — deu trabalho, mas com a desigualdade simples e a regra do produto a conta fica limpa. Se quiser, a gente pode verificar depois se f é ou não diferenciável em (0,0) (isso é outra história).

Resposta

[f) é contínua em todo \mathbb{R}^2.
(\displaystyle \partial_x f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{y^3}{(x^2+y^2)^{3/2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0), \end{cases}]
\displaystyle \partial_y f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^3}{(x^2+y^2)^{3/2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}]

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