Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
g(x, y)=y\left(x+x^{2} y\right)^{5}

Passo 1

O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função
g(x,y)=y\bigl(x+x^{2}y\bigr)^{5}.
Informações dadas relevantes:
  • A função é g(x,y) com variáveis (x,y).
  • Querem \dfrac{\partial g}{\partial x} e \dfrac{\partial g}{\partial y}.
  • Não foi dada restrição extra sobre x e y; trata-se de uma expressão polinomial-compotenciada (diferençável onde faz sentido).

Passo 2

Conceitos que vamos usar (explicadinhos, sem pressa):
  1. Definição de derivada parcial:
    \dfrac{\partial g}{\partial x} é a derivada de g em relação a x tratando y como constante. Analogamente, \dfrac{\partial g}{\partial y} é a derivada em relação a y com x constante.
  2. Regra do produto (para derivadas parciais): se g(x,y)=u(x,y)\,v(x,y) então
\dfrac{\partial g}{\partial x}=\dfrac{\partial u}{\partial x}\,v+u\,\dfrac{\partial v}{\partial x}.
Aqui a ideia é a mesma da regra do produto univariada, só que derivando em relação a x (mantendo y fixo).
  1. Regra da cadeia (para funções compostas): se h(x,y)=H\bigl(w(x,y)\bigr) então
\dfrac{\partial h}{\partial x}=H'\bigl(w(x,y)\bigr)\cdot\dfrac{\partial w}{\partial x}.
No nosso caso H(t)=t^{5} então H'(t)=5t^{4}.
Exemplo rápido e intuitivo: se f(x,y)=y\,(x+ x^2 y)^5, ao derivar em x tratamos o fator y como constante (como se fosse um número), e aplicamos a regra da cadeia na potência quinta.

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial g}{\partial x}.
Identificamos um produto:
u(x,y)=y,\qquad v(x,y)=\bigl(x+x^{2}y\bigr)^{5}.
Ao derivar em relação a x:
\dfrac{\partial u}{\partial x}=0\quad\text{(porque \(y\) é tratado como constante)},é
logo, pela regra do produto,
\dfrac{\partial g}{\partial x}=0\cdot v + y\cdot \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x+x^{2}y\bigr)^{5}=y\cdot \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x+x^{2}y\bigr)^{5}.
Agora aplicamos a regra da cadeia com H(t)=t^{5} e w(x,y)=x+x^{2}y:
\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x+x^{2}y\bigr)^{5}=5\bigl(x+x^{2}y\bigr)^{4}\cdot\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x+x^{2}y\bigr).
A derivada do interno é
\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x+x^{2}y\bigr)=1+2xy,
pois y é constante. Juntando tudo:
\dfrac{\partial g}{\partial x}=y\cdot 5\bigl(x+x^{2}y\bigr)^{4}\cdot(1+2xy).
Podemos reescrever de forma mais limpa:
\dfrac{\partial g}{\partial x}=5y(1+2xy)\bigl(x+x^{2}y\bigr)^{4}.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial g}{\partial y}.
Usamos novamente a decomposição g(x,y)=u(x,y)\,v(x,y) com u=y e v=(x+x^{2}y)^{5}. Agora derivamos em relação a y:
\dfrac{\partial u}{\partial y}=1, \qquad \dfrac{\partial v}{\partial y}=5\bigl(x+x^{2}y\bigr)^{4}\cdot\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(x+x^{2}y\bigr).
A derivada do interno em relação a y é
\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(x+x^{2}y\bigr)=x^{2},
pois x é tratado como constante. Pela regra do produto:
\dfrac{\partial g}{\partial y}=1\cdot\bigl(x+x^{2}y\bigr)^{5}+y\cdot 5\bigl(x+x^{2}y\bigr)^{4}\cdot x^{2}.
Fatorando \bigl(x+x^{2}y\bigr)^{4} obtemos:
\dfrac{\partial g}{\partial y}=\bigl(x+x^{2}y\bigr)^{4}\Bigl(\bigl(x+x^{2}y\bigr)+5x^{2}y\Bigr).
Simplificando o parêntese interno:
\bigl(x+x^{2}y\bigr)+5x^{2}y = x+6x^{2}y = x\bigl(1+6xy\bigr).
Logo uma forma compacta é
\dfrac{\partial g}{\partial y}=x\bigl(1+6xy\bigr)\bigl(x+x^{2}y\bigr)^{4}.
(Se preferir, pode deixar sem fatorar:
\dfrac{\partial g}{\partial y}=(x+x^{2}y)^{5}+5x^{2}y(x+x^{2}y)^{4}. Ambas equivalem.)

Passo 5

Verificação rápida de consistência e dica de prova:
  • As duas derivadas têm o fator \bigl(x+x^{2}y\bigr)^{4} (esperado porque ao derivar a potência quinta aparece o fator 5 e potência quatro).
  • Dica: em prova, comece identificando o produto e lembrando que ao derivar em x o y é constante (e vice-versa). Escreva passo a passo (produto → cadeia → derivada do interno). Respira fundo, faz calma e vai com confiança — você consegue!

Resposta

\dfrac{\partial g}{\partial x}=5y(1+2xy)\bigl(x+x^{2}y\bigr)^{4}
\dfrac{\partial g}{\partial y}=x(1+6xy)\bigl(x+x^{2}y\bigr)^{4}

Exercícios relacionados