Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função
Informações dadas relevantes:
- A função é
com variáveis . - Querem
e . - Não foi dada restrição extra sobre
e ; trata-se de uma expressão polinomial-compotenciada (diferençável onde faz sentido).
Passo 2
Conceitos que vamos usar (explicadinhos, sem pressa):
-
Definição de derivada parcial:
é a derivada de em relação a tratando como constante. Analogamente, é a derivada em relação a com constante. -
Regra do produto (para derivadas parciais): se
então
Aqui a ideia é a mesma da regra do produto univariada, só que derivando em relação a
(mantendo
fixo).
- Regra da cadeia (para funções compostas): se
então
No nosso caso
então
.
Exemplo rápido e intuitivo: se
, ao derivar em
tratamos o fator
como constante (como se fosse um número), e aplicamos a regra da cadeia na potência quinta.
Passo 3
Cálculo de
.
Identificamos um produto:
Ao derivar em relação a
:
logo, pela regra do produto,
Agora aplicamos a regra da cadeia com
e
:
A derivada do interno é
pois
é constante. Juntando tudo:
Podemos reescrever de forma mais limpa:
Passo 4
Cálculo de
.
Usamos novamente a decomposição
com
e
. Agora derivamos em relação a
:
A derivada do interno em relação a
é
pois
é tratado como constante. Pela regra do produto:
Fatorando
obtemos:
Simplificando o parêntese interno:
Logo uma forma compacta é
(Se preferir, pode deixar sem fatorar:
. Ambas equivalem.)
Passo 5
Verificação rápida de consistência e dica de prova:
- As duas derivadas têm o fator
(esperado porque ao derivar a potência quinta aparece o fator e potência quatro). - Dica: em prova, comece identificando o produto e lembrando que ao derivar em
o é constante (e vice-versa). Escreva passo a passo (produto → cadeia → derivada do interno). Respira fundo, faz calma e vai com confiança — você consegue!