Em cada item, supor que a matriz aumentada (ou ampliada) do sistema tenha sido reduzida por operações elementares sobre linhas às seguintes formas escalonadas (algumas reduzidas). Resolver os sistemas: \left[\begin{array}{cccc:c}1 & 0 & 4 & 7 & 10 \\\\ 0 & 1 & -3 & -4 & -2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema cuja matriz aumentada já foi reduzida à forma escalonada
Informações relevantes que temos (peguei todas da matriz acima):
As incógnitas são x_1,x_2,x_3,x_4 (uma coluna para cada variável).
A coluna à direita dos dois-pontos é o termo independente (vetor dos lados direitos): (10,-2,2)^\top.
A matriz está em forma escalonada: as pivôs aparecem nas colunas 1,2,3. A coluna 4 não tem pivô, logo x_4 é variável livre.
O que se pede: encontrar todas as soluções (x_1,x_2,x_3,x_4) do sistema.
Passo 2
Traduzir cada linha da matriz em uma equação (cada entrada deve ser escrita em TeX):
A primeira linha representa
x_1 + 0\cdot x_2 + 4x_3 + 7x_4 = 10,
ou seja
x_1 + 4x_3 + 7x_4 = 10.
A segunda linha representa
0\cdot x_1 + x_2 - 3x_3 - 4x_4 = -2,
ou seja
x_2 - 3x_3 - 4x_4 = -2.
A terceira linha representa
0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + x_3 + x_4 = 2,
ou seja
x_3 + x_4 = 2.
Passo 3
Resolver pela última equação (back-substitution). A equação
x_3 + x_4 = 2
é simples de isolar x_3. Como x_4 não tem pivô, ele será livre; por enquanto escrevemos
x_3 = 2 - x_4.
Explicação rápida do método: em um sistema escalonado, começamos pela última equação (que envolve poucas incógnitas) e isolamos a incógnita com pivô ali; depois substituímos nas equações acima para encontrar as outras incógnitas.
Passo 4
Substituir x_3 = 2 - x_4 na segunda equação para achar x_2. A segunda equação é
x_2 - 3x_3 - 4x_4 = -2.
Substituindo:
x_2 - 3(2 - x_4) - 4x_4 = -2.
Desenvolvendo passo a passo:
x_2 - 6 + 3x_4 - 4x_4 = -2,
x_2 - 6 - x_4 = -2.
Isolando x_2:
x_2 = -2 + 6 + x_4 = 4 + x_4.
Passo 5
Substituir x_3 = 2 - x_4 na primeira equação para achar x_1. A primeira equação é
x_1 + 4x_3 + 7x_4 = 10.
Substituindo:
x_1 + 4(2 - x_4) + 7x_4 = 10.
Desenvolvendo:
x_1 + 8 - 4x_4 + 7x_4 = 10,
x_1 + 8 + 3x_4 = 10.
Isolando x_1:
x_1 = 10 - 8 - 3x_4 = 2 - 3x_4.
Passo 6
Introduzir um parâmetro para a variável livre e escrever a solução geral. Como x_4 é livre, seja
x_4 = t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Então das fórmulas obtidas:
x_3 = 2 - t,
x_2 = 4 + t,
x_1 = 2 - 3t.
Podemos escrever a solução em forma vetorial (separa parte particular + parte proporcional ao parâmetro):
Interpretação rápida: existe uma família infinita de soluções parámetrizada por t. Por exemplo, para t=0 obtém-se (2,4,2,0) e para t=1 obtém-se (-1,5,1,1); ambas satisfazem as três equações originais.]