Em cada item, supor que a matriz aumentada (ou ampliada) do sistema tenha sido reduzida por operações elementares sobre linhas às seguintes formas escalonadas (algumas reduzidas). Resolver os sistemas:
\left[\begin{array}{cccc:c}1 & 0 & 4 & 7 & 10 \\\\ 0 & 1 & -3 & -4 & -2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema cuja matriz aumentada já foi reduzida à forma escalonada
\left[\begin{array}{cccc:c} 1 & 0 & 4 & 7 & 10 \\\\ 0 & 1 & -3 & -4 & -2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right].
Informações relevantes que temos (peguei todas da matriz acima):
  • As incógnitas são x_1,x_2,x_3,x_4 (uma coluna para cada variável).
  • A coluna à direita dos dois-pontos é o termo independente (vetor dos lados direitos): (10,-2,2)^\top.
  • A matriz está em forma escalonada: as pivôs aparecem nas colunas 1,2,3. A coluna 4 não tem pivô, logo x_4 é variável livre.
  • O que se pede: encontrar todas as soluções (x_1,x_2,x_3,x_4) do sistema.

Passo 2

Traduzir cada linha da matriz em uma equação (cada entrada deve ser escrita em TeX):
A primeira linha representa
x_1 + 0\cdot x_2 + 4x_3 + 7x_4 = 10,
ou seja
x_1 + 4x_3 + 7x_4 = 10.
A segunda linha representa
0\cdot x_1 + x_2 - 3x_3 - 4x_4 = -2,
ou seja
x_2 - 3x_3 - 4x_4 = -2.
A terceira linha representa
0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + x_3 + x_4 = 2,
ou seja
x_3 + x_4 = 2.

Passo 3

Resolver pela última equação (back-substitution). A equação
x_3 + x_4 = 2
é simples de isolar x_3. Como x_4 não tem pivô, ele será livre; por enquanto escrevemos
x_3 = 2 - x_4.
Explicação rápida do método: em um sistema escalonado, começamos pela última equação (que envolve poucas incógnitas) e isolamos a incógnita com pivô ali; depois substituímos nas equações acima para encontrar as outras incógnitas.

Passo 4

Substituir x_3 = 2 - x_4 na segunda equação para achar x_2. A segunda equação é
x_2 - 3x_3 - 4x_4 = -2.
Substituindo:
x_2 - 3(2 - x_4) - 4x_4 = -2.
Desenvolvendo passo a passo:
x_2 - 6 + 3x_4 - 4x_4 = -2,
x_2 - 6 - x_4 = -2.
Isolando x_2:
x_2 = -2 + 6 + x_4 = 4 + x_4.

Passo 5

Substituir x_3 = 2 - x_4 na primeira equação para achar x_1. A primeira equação é
x_1 + 4x_3 + 7x_4 = 10.
Substituindo:
x_1 + 4(2 - x_4) + 7x_4 = 10.
Desenvolvendo:
x_1 + 8 - 4x_4 + 7x_4 = 10,
x_1 + 8 + 3x_4 = 10.
Isolando x_1:
x_1 = 10 - 8 - 3x_4 = 2 - 3x_4.

Passo 6

Introduzir um parâmetro para a variável livre e escrever a solução geral. Como x_4 é livre, seja
x_4 = t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Então das fórmulas obtidas:
x_3 = 2 - t,
x_2 = 4 + t,
x_1 = 2 - 3t.
Podemos escrever a solução em forma vetorial (separa parte particular + parte proporcional ao parâmetro):
\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\\[4pt]x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\[4pt]4\\[4pt]2\\[4pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-3\\[4pt]1\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.
Interpretação rápida: existe uma família infinita de soluções parámetrizada por t. Por exemplo, para t=0 obtém-se (2,4,2,0) e para t=1 obtém-se (-1,5,1,1); ambas satisfazem as três equações originais.]

Resposta

x_1 = 2 - 3t
x_2 = 4 + t
x_3 = 2 - t
x_4 = t,\\ t\in\mathbb{R}

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