Em cada item, supor que a matriz aumentada (ou ampliada) do sistema tenha sido reduzida por operações elementares sobre linhas às seguintes formas escalonadas (algumas reduzidas). Resolver os sistemas: \left[\begin{array}{lll:l}1 & 2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado fornece a matriz aumentada do sistema já em forma escalonada (algumas vezes reduzida). Os dados que temos são exatamente a matriz aumentada:
O que o enunciado pede: resolver o sistema linear correspondente a essa matriz aumentada (ou seja, encontrar todas as soluções (x_1,x_2,x_3), se existirem).
Passo 2
Vamos lembrar como interpretar uma matriz aumentada em relação ao sistema:
As três primeiras colunas representam os coeficientes das incógnitas \,x_1,x_2,x_3, nesta ordem.
A última coluna (após o separador) representa os termos constantes (lado direito igual).
Cada linha da matriz corresponde a uma equação do sistema, lendo os coeficientes na mesma ordem.
Portanto, ler a matriz linha a linha nos dá as equações do sistema.
Passo 3
Escrevendo explicitamente as três linhas como equações (cada linha vira uma equação):
Primeira linha:
1\cdot x_1 + 2\cdot x_2 + 0\cdot x_3 = 0
ou mais simplesmente
x_1 + 2x_2 = 0.
Segunda linha:
0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 1\cdot x_3 = 0
ou
x_3 = 0.
Terceira linha:
0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 0\cdot x_3 = 1
ou seja
0 = 1.
Passo 4
Analisando a terceira equação \,0=1: isso é uma contradição lógica. Nunca existe valor de \,x_1,x_2,x_3 que satisfaça \,0=1. Em termos de sistemas lineares, uma linha da forma “todos os coeficientes zero e o termo constante diferente de zero” indica que o sistema é inconsistente.
Regra prática (importante para provas): se, na forma escalonada reduzida, aparecer uma linha com todos os coeficientes das incógnitas iguais a zero e o termo à direita não nulo, então o sistema não tem solução. Essa linha traduz a equação impossível \,0=c com c\neq 0.
Passo 5
Concluindo a partir da contradição da terceira linha: o sistema é inconsistente, ou seja, não existe nenhum vetor (x_1,x_2,x_3) que satisfaça simultaneamente as equações dadas. Portanto o conjunto solução é vazio.
Comentário didático adicional (para fixar): se a terceira linha tivesse sido [0\\\ 0\\\ 0\mid 0] em vez de [0\\\ 0\\\ 0\mid 1], então não haveria contradição — aí teríamos uma equação redundante e poderiam existir infinitas soluções (com x_2 como parâmetro, por exemplo, e com x_1 e x_3 dados pelas outras duas linhas). Mas com [0\\\ 0\\\ 0\mid 1] fica impossível.